宇宙万物无不振动。来自遥远星系的光线，以至夜鸳的叫唤声都是通过振动传达给我们的——分别是时空连续体和大气的振动。小提琴的音调，以及车轮的稳定性，都是由它们振动的性质决定的。每个物体，不是仅有一种特征回声频率，而是具有一整个范围的特征回声频率。中国古代编钟被设计得具有两个特别响亮的固有频率：发哪一种声音由敲击的部位而定，拉皮杜斯（Michel Lapidus）和弗莱肯基尔——皮尔（Jacqueline Fleckinger-pellé）现在证明了关于具有分形边界的物体的振动频率的一个重要猜想。

和声学

小提琴的基本频率取决于弦的张力，同时它也能产生基本频率的和声一是基本频率的两倍、三倍、四倍…的振动。这种图像是容易描述的：所有整数1，2，3，…倍的频率。但是复杂的形状产生复杂的频率系列，甚至对于圆盘（鼓的正面模型）这种规则形状的振动的分析，也要导出繁难的贝塞尔函数。

尽管情况是如此复杂，魏尔（Hermann Weyl）发现所有振动形状还是有共同特征的——至少，是当它们具有光滑边界时#特别有特征频率的统计分布具有规律，可以立即详细地写出来。1980年，贝里（Michael Berry）根据物理学的理由猜想，关于魏尔的结果一个更精确的推论也应当成立，它不仅适用于原先魏尔所正视的光滑形状物，也适用于分形边界形状物。现在这个魏尔 - 贝里猜想的稍加改动的形式已由拉皮杜斯和弗莱肯基尔 - 皮尔证明了。

数学上，任何媒质的小幅度振动是用波动方程描述的。这个方程原先是18世纪欧拉研究乐器时引进的，旋由拉格朗日推广到声波和水门爆破上。此波动方程至今也许是所有数学物理方程中最重要的方程，它的数学形式是d²f/dt²=▽²f，其中▽²是拉普拉斯微分算子，由▽²f = ?²f/ ?x²+ ?²f/?y²+ ?²f/?z²所定义。

某一振动形状的特征频率对应于拉普拉斯方程的特征值λ；即方程▽²f+λf=0的解。在此方程中你必须考虑到物体边界固定，其余部分振动，正如鼓和小提琴的情形。

魏尔公式描述高频率振动的渐近性质。设N(λ)是小于某一给定值λ的特征频率的个数。一个问题是，当λ变得相当大时N(λ)的形态如何？答案是N(λ)近似地与λ^k/2成正比，这里k是振动物体的维数。其比例常数取决于振动形状的体积。

这里所说“近似”的意思是当λ无限增大时，特征值的其正个数与上述魏尔公式的值的比例趋向于1。但这只给出很粗糙的信息。要改进魏尔公式我们必须问魏尔公式的误差会有多大。贝里的想法是，此误差是由于边界的影响，其大小应与λ^d/2同级，这里d是边界的维数。例如，对于圆形鼓，就有k=2，d=1。所N(λ)近似地与λ成正比，误差不超过λ^1/2。

魏尔原初公式的证明假定边界形状在数学上是好的：光滑的，至少在有限个拐角之外是光滑的。但是贝里的物理学推论看来也同样适用于边界是不规则的情形。贝里实际上提出的是：当边界是在曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）的著作《自然界的分形几何》（The Fractal Geometry of Nature）所述的分形时，以上结果也应当成立。

分形雪花

原始的各形是雪花曲线。这种曲线的构成，是从一个等边三角形开始，在它的每条边上加上一个为原大三分之一的等边三角形，然后加上更小的三角形，无限地重复这个过程而成的一条闭合曲线，一个以雪花曲线为边界的鼓怎样振动呢？按照贝里的说法，很像光滑边界的鼓。当你仔细省察一下那种能穿透边界的细缝的高频率振动，情形就不一样了_此时可能产生更多的振动，因为分形物体具有大量非常细小的裂缝，所以数N(λ)应当更大些。当圆形鼓的时候，与魏尔公式相差大约为λ^1/2，而雪花曲线将要偏离更大。里提出此误差应大约是λ^d/2，这里d是雪花边界的维数、

我们所说的边界的维数，当边界是不规则的分形时，具有什么意义呢？贝里的猜想是，它应当是分数维或豪斯道夫 - 贝西柯维奇（Hausdorff-Besicovitch）维，这个概念是用于分析分形的基本概念，它量度雪花在尺度变化时的形态，特别是它不像通常的维数概念，不必是整数。这里d大约是1.2618。所以魏尔公式的误差的阶是λ^0.6309，相比起来，具有光滑边界的鼓的误差的阶是λ^0.5。

这简f是一个抽象的纯粹数学的练习——为了艺术而艺术——但是不然。许多自然物体用分形来模拟比用光滑曲面来模拟更好：例如在具有不规则边界的湖水下的振动，或者整个地球的振动（地震学家探测地震或分析地球内部所研究的）。音乐厅的声学性质依赖于不规则形状的墙——这为近代建筑学家们所崇尚，并在改进音响方面也得到一些理论的证实。

但是贝里的猜想是错的，这是布罗萨德（J. Brossard）和卡姆内（R. Carmona）所指出的。看来，除了在此猜想所启发的物理直观方面仍然显得很引人入胜而外，没有什么好说的了。但是拉皮杜斯和弗莱肯基尔 - 皮尔指出此猜想在换一种提法后仍然是正确的：用不大为人所知的闵可夫斯基（Minkowski）维来代替这里的豪斯道夫 - 贝西柯维奇维。

豪斯道夫 - 贝西柯维奇维描述物体的“d维体积”在尺度变化时是如何变化的。而闵可夫斯基维，与之相反，描述在物体近傍以及在其上的点的形态。这在振动问题中是有物理趣味的，因为振动着的部分是在鼓的边缘附近，而不是边缘本身。此证明纯粹是分析的，并将魏尔定理的经典证明推广到分形情形，至今还未能证实魏尔 - 贝里猜想的一个更明锐的论述，即它的误差能并入公式中“二次校正项”。但看来很可能是这样的。

物理直观对于数学发现的重要性是显然的，而这个对于魏尔经典结果的推广是一个极适当的例子。但它还提出了其他教训。其一是对于适当的数学严密性的需要，无此我们也许至今还不能认识到关于分数维的最普通的定义是不适用于这里的。第二点是，虽然直觉能判断出某些结果是正确的，但它未必会提出正确的思路以证明它——这里需要用到经典分析方法，第三点是，某些数学中显然已经僵死的概念——例如这里的闵可夫斯基维的概念，甚至在数学家中也不大知晓了——能在新的应用中突然复苏。

[Nature，1988年5月19日]