四年一度的国际数学家大会这次在瑞士苏黎世举行，它使得世界各地活跃在数学研究和教学的3000多位数学家会聚在一起，苏黎世城到处都是这一特别种类的科学家，人们禁不住要问：这些数学家到底是干什么的？这个问题即使是在其它的一些场合也经常地被问到，为此我就对这门学科的本质特性及其推理过程作一些探讨。

费马大定理

1993年6月，一个激动人心的报告传遍了整个数学界，它通过电子邮件以闪电般的速度到达甚至是非常遥远的研究所、学院和大学，著名的有350年历史的费马大定理被证明了。使大多数数学家感到惊奇的是这个报告在许多非专门的媒介上也得到了发表，从而使得大众也知道了此事。《纽约时报》在头版专门对此作了报导，从而使得定理的证明者普林斯顿的安德鲁 · 威尔斯和为证明此定理开辟了道路的埃森的杰拉尔德 · 费雷，伯克利的肯尼思 · 吕佩特在一夜之间就像艺术家和体育明星一样闻名，可见350年来一直未得到解决的问题不管是对门外汉来讲还是对专家而言都是如此的迷人。

这次既不是威力无比的科技应用，也不是五彩缤纷的计算机图形，而是纯粹强有力的数学推理使大众如此激动，因此可以想象到的是在随后的日子里数学家将会被来自四面八方的问题所包围。这些问题从总体上来说都问到了关键之处，那么我们是否利用这一机会以使世界各地的人们对这门科学有更多的了解呢？

为完整起见，我们先把费马大定理中的基本问题解释一下，我们知道方程x²+y²=z²有许多组整数解，例如x=3，y=4，z=5。然而方程x³+y³=z³却没有整数解，费马在1635年宣称他能够证明方程xⁿ+yⁿ=zⁿ，当n>2时，除x=y=z=0外没有整数解。当然我们完全可以怀疑当时他是否真正得到了一个证明。该问题看上去即简单又平凡，几个世纪以来它引起了众多业余爱好者和职业数学家的兴趣，当然许多有错误的证明被提了出来。

另一方面人们验证了该命题对许多具体的指数n均成立，到去年为止使命题成立的n的数值已升到了4000000。值得一提的是人们在作这些工作的时候提出的一些非常深奥的方法对现代数学有着重大的影响，比如作为许多一般概念根基的称为代数数的理论就主要来自于这些努力。现在我们知道只要威尔斯的证明滴水不漏，那么命题对所有的n都成立。

所有这些使门外汉多少感到有点困惑，这么简单的一个命题就这么难证明？难道职业数学家就靠整天搞这些玩意儿混饭吃吗？那么以下的一些更深入的问题将多少能给我们一个机会去纠正一些误解。

看不见的文化

我们得到了什么？什么是已证明了的该结论在我们这个世界中引起的看得见的后续成果？这里我们必须老实地回答：我们什么也没得到。该定理的被证明即使是对数论本身而言也没有后续的成果。但是人们在面对一件艺术杰作或一个给人深刻印象的体育成就的时候提出过这样的一个问题吗？数学就像艺术一样是我们文化传统的一部分，不管是在古代还是在现代，数学总是从这个事实得到它存在的理由。但是与艺术和体育不同的是，数学没有广泛的群众基础，就像我们必须承认的那样，数学结论往往一开始只为一个很小的圈子所接受，其结果越新、越深奥、越抽象，其圈子将越窄。这样除了某些非常的情形如费马大定理外，数学几乎不可能在大众中引起轰动效应。

当然这只是问题的一个方面，另一方面人们到处都可以看到数学的无穷无尽的应用，不管是在各种各样的科学计算当中，还是在物理学、化学、生物学、医学、气象学、电信学等领域中，数学已经成为当今科技世界中必不可少的工具，即使在一些较为简单的情形下，当我们提到概率、外推、分析、图形解释、编码、平均值等概念时，我们也自觉或不自觉地在应用着数学推理。

然而人们并不一定会想到所有这些被应用的数学概念、方法和结论是抽象的结果，它们必须用头脑思考出来，即使是明显无实用价值的像费马类型的问题和许多其来源既简单又实际的一些问题的求解，也要求有非常广泛的精致的理论结构才行。作为一个规律既不是预谋的，又不是能预见的数学的普遍适用性似乎就取决于这些抽象的概念。以下给出的几个例子将说明这一点。

数学的这两个非常不同的方面之间的关系不是很容易就能理解的。我们通过理论构造的方法而使用的用来辨识、描述、理解和表达的工具就是数学，其语言、思维模式和结果是一种抽象的思想上的结构，它并不完全是为了应用的目的而建立的。数学的应用证实了数学的威力，但它并不是数学的真正动力，数学的原动力看来是属于一种非常不同的类别，如果我们非得去描述它，那么我们需要像好奇，对知识的渴求和对竞技的冲动等字汇。

那么这是一种像所有的好竞技那样需要高度技巧和有一定难度的竞技是吗？在某种意义上来说，是的，但人们知道最终它会有重大的意义和影响，这使得其动机与艺术家的动机很相似，而且就像在艺术领域中一样。关于价值和公正的准则并不是很容易就能精确化的，它们包括强度，美丽，表达形式的统一，新水平的突破和在为理解问题而作的深刻努力中得到的顿悟。即使是在艺术领域中的这些也不可避免地限于初创者的圈子之内，从而我们的这门数学科学就为更多的大众所拒之门外。

数学证明

为什么我们要去证明一个已经在4000000种情形下都已经验证成立的命题？更进一步说，我们是否可以把这些本身就看作是一种证明呢？这里我们必须再一次回过头来，而且首先强调所有的这些时时刻刻在起作用的数学概念在我们观察到的真实世界上并不存在，显然最简单的事物如一条直线，3维空间，整数和概率是人类心灵的产物，更不用说实数或复数、群、向量空间、积分等，所有这些数学概念是否独立于我们人类的思想而存在？也即数学是我们发现的还是我们发明的？这是数学家之间争论的焦点之一，但在这里我们对此不多作讨论。

当然这些数学概念来源于我们的观察和经验，一方面主要来源于几何和物理，另一方面来源于数字和计数，但首先必须完成的一步是抽象，即从真实世界中脱离出来，并据此而形成一个数学对象。这个数学对象只为它的组合特性所决定，其组合特性可以随情况的变化而变化，但必须满足一定的公理<>在这里起本质作用的是其相互之间关系的结构，这样在直觉和实验的引导下我们可以在所理解的框架下建立联系，结果和定理，但它们是否正确只能通过对证明过程作严格的逻辑分析才能决定，不然我们无法知道其是否成立。经验告诉我们直觉常常会使我们误入歧途，只要我们仍没有费马大定理的严格证明，我们就不能保证对某些非常大的指数n而言就没有整数解存在。

数学结构和结果应用的多样性显然来源于它的普遍性，即独立于具体的事物，不管是在对日食或月食的预报中，在一座桥梁的设计中，在宇宙形成的理论中，在基本粒子物理的图解中，还是在计算机层面X线相片的分析中，都有抽象的远远脱离真实世界的数学工具在起作用。如果我们对这些数学工具的有效性没有充分的把握就去应用它们，将会是非常危险的。

没有诺贝尔奖

那么安得鲁 · 威尔斯是否能拿到诺贝尔奖呢？遗憾的是对数学家而言没有诺贝尔奖，看来并不是人人都了解此事，但它毕竟引起了人们的种种推测。有许多解释在流传着，诸如诺贝尔和当时一个非常卓越的数学家之间的个人冲突的故事等等，但就像诺贝尔奖委员会的主席曾经声明过的那样，并不是所有的这些故事都是真实的。我们不知道究竟是什么原因，我们只能够猜测：数学只是很简单地被忘记了，就像经常发生的那样，数学只不过被看成是一个工具，要用的时候就拿来用一下，数学家的任务只不过是去做一些必需的计算，即使是在数学的重要性被充分认识的今天，人们对其真正本性和内在美依然知之甚少。这主要是因为数学研究只是在一个很小的圈子里进行而不为外界所知的缘故，非职业数学家只能看到数学这座冰山露出水面的这部分。那么深埋在水下的那部分是什么呢？那里隐含有一种艰难和深奥的过程：数学家从对周围环境的模糊经验和直觉出发创造出数学概念和结构，再把它们组织起来，搞清楚它们之间的关系，有时甚至还得对付我们自身思维所完全料想不到的结果，这些结果常常会引起深远的应用，从而一些更进一步的问题会被提出来，这些新问题又要求新的解答和更多新的概念。

为了说明数学思想是如何从深处浮现于表面的一个最好的例子是电磁波的发现，该发现也许是科学和现代人类历史上最重大的事件之一。荣誉该归于物理学家詹姆斯 · 克拉克 · 麦克斯威尔（1831~879）和海因里希 · 赫兹（1857~1894），但它在很大程度上取决于先期为其他原因（数学分析、波动方程）而发展起来的数学理论，该理论表明了麦克斯威尔-海维赛德方程将不可避免地导致波的发现，而这最终被赫兹用实验加以证实。

类似地有很多其他数学理论出乎意料地被应用于物理领域的例子：比如群论是伽罗瓦为研究代数方程的可解性而建立起来的，但它已被应用于对原子谱的阐述；布尔代数起源于数理逻辑，但它已被应用于电路理论；拉东变换被应用于计算机层面X射线的相术；范畴论被应用于自动机的设计和形式语言；微分几何、拓扑和代数被应用于新的物理理论、就创造和形成数学概念而言似乎总是有完全不同的动因，但也许数学概念创造的内在美才是其真正的动因，不是吗？

用计算机如何？

我们是否可以简单地把在费马大定理证明过程中遇到的困难事情留给计算机去做呢？这个问题经常被问到，它看上去似乎很有道理。因为不管是职业数学家还是非职业数学家大家都知道现在是计算机时代，这极大地增进了应用数学思想于我们这个现实世界的可能性，况且不管是应用数学家还是纯粹数学家都大量地使用计算机作试验，验证猜想，使一些复杂的几何问题通过可视化变得易于理解，或做一些困难的代数运算。但所有的这些都代替不了严格的概念上的证明，事实上应该是计算机所做的这些工作是建立在概念证明的逻辑基础之上。

去年在《科学美国人》杂志上发表r一篇名为“证明的消亡”的文章，该文引用了很多著名数学家的言论，以说明在概念框架之下的经典证明将自然地被用计算机所作的可视化验证所代替，从而威尔斯关于费马大定理的证明则被认为是一个“极大的时代错误。文章一发表即引起了一场轩然大波，即使是在文中被引用的数学家也都认为实际情况被完全地误解，半严格的论证将导致只是在某一概念范围内成立的半真理甚至是错误的结论（而为了得到这个不一定的结论却需耗费大量的机时）。

如果没有什么危险出现的话，人们也许可以无视这一点。但事实上这种思想的影响将比人们所想象的要更糟，如果这种思潮在世界范围内广泛流行的话，那么数学基础结构的重新改造将被提到议事日程上来。计算机上的多方面游戏将代替一切，看来现在已有许多教材和软件在这方面作了准备，而且也有一些改革家正在积极倡导这条路子。如果这样的话正在成长的下一代将盲目地相信他们在计算机屏幕上看到的一切而不知道事实上却“什么也没有证明”，他们将再也经历不到数学思想的内在美。数学的运用必须依据于它的真实本性 :即抽象性，在一个严格范围内的有效性和普遍性，正是由此数学才永远是实用的。

看来50年前赫尔曼 · 魏意尔的讲话今天仍显得非常必要：“我们并不强求数学作为科学女王的特权，在教育方面有许多其它学科显得同样重要甚至更为重要。但数学为所有智力上的探索设置丁客观真理的标准，科学和技术证实了数学的实用性，除了语言和音乐以外，数学是人类思想自由创造能力的重要体现，它是通过理论构造为世界范围内所理解的普遍工具。因此数学仍然是我们必须传授的知识和能力的一个主要部分，数学仍然是我们必须传递给下一代的文化的一个基本组成部分。”

［The American Mathematical Monthly，1995年第102卷第8期］