通常的教科书中阐述的玻尔频率对应原理不能应用于所有周期系统，因而极限n→∞和h→0并不普遍等效。

对应原理是讨论经典物理和量子物理之间的关系的。虽然许多教科书都把对应原理简单地表述为：在主量子数n趋向于无限大的极限范围内，量子力学就过渡到经典力学，但是一般说来，这个陈述是不正确的。在本文中，我们将特别注意下述观念：在这个极限下，周期系统的量子频谱就转变为经典频谱。两个对立的简单例子（立方盒中的一个粒子和刚性转子）将向我们表明，在大量子数极限下，并不总是能回到经典结果的。

此外，我们将会看到，通常所说的玻尔对应原理并不代表尼尔斯 · 玻尔对经典理论与量子理论之间的关系的原来意见。这一差异可由下述事实得到说明：我们所举的对立的例子违背了通常形式的对应原理，但它们却处于更有限制性的对应原理（它与在这个问题上玻尔原来的陈述的精神相一致）的适用范围之外。

我们的例子还将说明，以普朗克常数趋向于零这一极限为基础的普朗克对应原理可以应用于所有的周期系统，因此极限n→∞和h→0并不普遍等效。

普朗克对对应原理的陈述

在电动力学和统计力学中，对应原理具有重要意义，并且在早期对量子力学的阐述中，它起着重要的作用。1906年，马克斯 · 普朗克首先陈述了这个原理。对应原理的最简单的陈述是：

在这两个表示式中，k是玻耳兹曼常数，T是温度，c是光速。普朗克得出的结论是：“经典理论可以简单地用作用量子变为无限小这一事实表征。”

1926年，格雷戈尔 · 温策尔、亨德里克 · 克喇末和路易斯 · 布里渊发现，在普朗克极限下，由薛定谔方程可以得到经典物理学中的哈密顿 - 雅科毕方程。这个方法中的第一步是写出相位为S(x，t)的波函数：

上面这两个关系式组成了适用于哈密顿主函数S(x，t)的哈密顿 - 雅科毕方程，我们可以进一步认为S(x，t)就是经典作用量积分。这些方程代表了经典动力学。因此我们又有了一个例子，可用来说明在普朗克极限h→0下，量子力学能够转变成为经典物理。

对应原理的另一个形式是由厄伦费斯脱定理给出的。这个定理表明：在量子力学中，当我们组成了相应观察量的期望值时，就可以得到经典动力学方程。

力学和光学   我们可以利用包含有德波罗意波长

正如下表所示，包含有波长的这些不等式使得可以对力学和光学作出明显的类比。

玻尔对应原理

在1913年，玻尔注意到，在主量子数n大的极限下，氢原子发射的频谱接近于用经典方法计算出来的频谱。这个极限下的发射频率等于电子的经典轨道频率，当量子数n趋向于无限大时，它趋向于零。用玻尔的话来说：“如果n很大，那么发射前和发射后的（轨道）频率的比值就非常接近于1；因此，按照通常的电动力学，我们可以预期，辐射频率与绕转频率的比值也非常接近于1。”

1918年，玻尔在献给他的老师克里斯琴 · 克里斯琴森的学术论文中，把这个发现推广到周期系统或振动系统：“就频率而论，我们看到在大n的极限下，通常的辐射理论和以两个量子假设为基础的光谱理论之间存在着密切的关系。”这里，“通常理论”这一短语是指经典图像。正如我们在后面将会看到的，在1918年的同一篇论文中，玻尔接着对这个原理加上很大的限制。虽然如此，为了与通常的习惯一致，我们还是把未加限制的陈述称为玻尔频率对应原理。这个陈述是：在大n极限下，周期系统的量子频谱接近于经典频谱。

这里，重要的是区别频率对应和组态对应。当量子频谱与经典频谱符合时，就得到频率对应。当量子几率密度与经典几率密度符合时，就得到组态对应。利用谐振子，可以很好地说明这个概念。对于谐振子来说，具有一定能量的粒子的经典几率密度由下式给出：

形式对应和频率对应  在其余的讨论中，我们考察广泛接受的玻尔频率对应原理的例外情形。我们将会发现，在主量子数n大的极限下，这些例外遵从一种物理上的联系较少的“形式对应”，但不满足物理上的联系较多的频率对应。（下表列出了不同类型的对应。）最后，我们将会发现，为什么这些例外是与玻尔的对应原理相矛盾的，但却与遵循玻尔所提出的路线的狭义原理相一致。

这里作一些解释：如果v_Q是量子频率，v_C是经典频率，E是能量，那么当v_C(E)具有与v_Q(E)相同的函数形式时，形式对应就得到满足。如前所述，当量子谱的频率任意增大而接近于有关的经典谱的频率时，就出现频率对应。例如，对于v=0附近的氢原子来说，情形就是这样。

对立的例子

在我们的两个对立的例子中，大量子数区域中的相邻频率最终被移动到

v_Q⁽ⁿ⁺¹⁾= v_Q⁽ⁿ⁾+h/I                         （2）

处。常数I具有转动惯量的量纲，它与主量子数n无关，显然，在大n的极限下，这种频谱不会退化为经典连续谱。然而，在普朗克极限h→0下，可以得到对应性。因此，极限n→∝和h→0并不是普遍等效的。

—个封闭在壁是不可透过的、边长为a的立方盒中的粒子，其特征能量由下式给出：

E_n=E₁(n₁²+n₂²+n₃²)

式中E₁=h²/8ma²，整数n的范围是1到无限大。因此，发射的频率v_n由下式给出：

hv_n/E₁=(n^'₁²+n^'₂²+n^'₃²)－(n₁²+n₂²+n₃²)

因为hv_n/E₁是整数之差，因此它本身是一个整数，于是

v_n=(E₁/h)q=v₁q                         （3）

式中q是一个整数。这些频率组成了匣子中粒子的频谱；但不包括在涉及量子数n的任何取极限过程中的经典连续谱。

刚性转子给通常陈述的玻尔频率对应原理提供了第二个对立的例子。旋转运动的特征能量是：

E_l=(h²/2I) l (l+1)

式中l是整数，I是转子的转动惯量。

式（2）给出了发射频率。我们再次发现，在大量子数极限下，不存在频率对应，但在普朗克极限h→0下，则存在频率对应。在非转动方式没有受到激发的区域中的双原子分子很好地证实，刚性转子频谱的间距是不均匀的。M. 切尔尼首先观测到远红外区中氢的卤化物的这种光谱。

在这两种情形下，极限h→0导致频率对应，而极限n→∞则否。

所满足的形式对应   当考察大量子数极限下我们的例子中的函数V(E)时，情形发生了有趣的转变。

对于经典盒子中平均能量为E的粒子来说，计算第n个振动方式的辐射功率就得到下述表示式：

在这两种情形下，不遵从玻尔频率对应性的这一事实意味着：与经典情形不同，频率 - 能量曲线上量子发射频率的分布并不稠密。

我们顺便指出，不同的教科书混淆了形式对应和频率对应，从而错误地认为，刚性转子是满足玻尔频率对应原理的。有人认为，上述两个例子中之所以不存在玻尔频率对应是由于所涉及的势的奇异特性。如果情形确实是这样，那么对于一个限制于壁为刚性的球形盒子中的粒子来说，这种对应性也不应当出现。然而，在大量子数极限下，这种结构确实给出了频率对应（以及组态对应）。因此，急剧增加的势不足以破坏玻尔频率对应原理。

势x^2N

通过对平滑变化的一维势

V_N(x)=K_Nx^2N                                       （4）

的研究，发现了对应原理的另一些例外。上式中的N是实数，K_N是一个常数。这些势包括谐振子（N=1）和方阱势（N=∞）。

谐振子的频率v₁是常数，与系统的能量无关，因此在零能量极限下，经典频率仍然是久。这一频率与量子力学中谐振子发射（按照选择定则）的频率相同，因此无论n或h的数值如何，频率对应可以得到满足。这种无关性使得谐振子成为式（4）给出的势族中的特殊的势。

更通常的做法是，我们可以把量子频率v_n写成这里v₀f(n)，这里f(n)是量子数n的某个无量纲函数。常数频率v₀是部分地描述系统几何特性的那些参量的函数；我们把这个频率称为“几何频率”。

另一方面，经典系统的发射频率是通过轨道的傅里叶分析得到的，并以基频及其谐频的形式出现。然而，与量子情形适成对照的是，经典系统的基频大都依赖于能量。作为一个直接的例子，当N＞1时，式（4）给出的那些势的经典频率都与能量有关，而且它随能量的增加而减少到零。另一方面，如所预料，与这些势相应的量子频率全都是几何频率，并且当N＞1时，这些频率具有对目前的讨论来说是重要的一种特性。也就是说，这些频率仍然限于不为零的数值。具体地说，如果v_N是与势V_N相应的频谱，则

V_N＞v_N，最小∝h^(N-1)/(N+1)

因此我们发现，在量子数n大的极限下，在零频率附近，与式（4）中的势相应的量子频率和经典频率并不—致。然而，当N＞1时，显然可以看出，最小频率v_N，最小随h的增加而趋向于零，因此再次可以看到，普朗克极限给出了对应性。

形式对应原理

我们预期，在大量子数极限下，形式对应原理是适用的。如果在玻尔 - 索末菲量子化规则的体系下工作，那么对于一般类型的能谱来说，我们可以像下面扼要叙述的那样，证明形式对应原理是正确的。

以作用量 - 角度变量表示的经典周期系统的哈密顿运动方程是：

?H_C(J)/?J=v                               （5）

J=∮pdq

式中H_C(J)是经典哈密顿量，而（q，p）是正则坐标和正则动量。经典作用量变量J表示相空间中的面积，因而我们可通过改变初始条件来连续地改变其数值。

然而在量子力学中，按照玻尔 - 索末菲量子化规则的规定，作用量J限制于h的整数倍，即J=nh。（更精确的规则是n+1/2，而不是n；然而，我们关心的是大量子数区域，因此利用n就够了。）与哈密顿方程[式（5）]类似的关系由下述玻尔辐射定则给出：

?H_Q(J)/?J=v                         （6）

式中?表示增量的变化。

显然，在玻尔关系[式（6）]的形式与哈密顿方程[式（5）]的形式一致的区域中，形式对应可以得到满足。能谱H_Q=n^α（这里n是整数，α是一个有限大的常数）提供了一个简单的解释。我们发现，对于这个能谱来说，在大量子数区域中，无论指数α的数值如何，式（5）和式（6）具有相同的形式。然而，对于这同一个能谱来说，仅当α≤1时才出现频率对应。

这个解释似乎证实，与玻尔频率对应相比，形式对应的适用范围更广。例如，在上文中所看到的，能谱H_Q=n²并不给出玻尔频率对应，但却满足形式对应。

无普适性的起因

有必要解释一下经典连续区的概念。为了使讨论简单起见，考虑一维盒子中的一个带电粒子。如上所述，受到这样限制的粒子的经典频谱是线状谱，它由基本的“反跳”频率和它的谐频组成。因为基频与能量有关，因此能量为连续分布的这种粒子的系综能够发射出连续的频谱。相应的量子组态在本质上是不同的，量子频率具有几何特性，因而受到这样限制的粒子系综的频谱仍然是线状谱，亦即由式（3）给出的频谱。当我们谈及向连续区过渡的量子线状谱时，必须用系综进行描述。

玻尔频率对应原理无普适性的起因是什么呢？为了寻求解答，我们回到玻尔在1918年写的阐述这个原理的经典论文。

在这篇论文中，玻尔考虑的两个方程（以及它们原来的序号）是：

（1）E_n-E'_n=hv

（10）J=Φpdq=nh

玻尔指出：“因为在与式（10）内n的不同数值相应的两个状态中的频率值是不同的……，因此我们不可能预期，按式（1）算得的频率……和这些态的运动之间会存在一种简单的关系，除非是在n甚大的极限下，且相继的各个定态中运动频率的比值与1相差很小。”

我们可以把这种准经典的讨论放置于更纯粹的量子力学的基础上。稳定的量子态包含有对时间的依赖关系：

ψ_n(t)=e^{-iEn t/h}

因此我们可以认为，这些状态的频率与相应的本征能量是同一个量。代替上述引文的后面部分，我们可以提出与此相当的要求：相继的各个定态能量的比值与1相差得非常小。然而，由上述对立的例子，我们可以看出，必须对甚至是作了这样修改的玻尔的陈述加上更多的限制。为了把这些例子排除在可用以说明玻尔频率对应的例子之外，我们必须把推广后的对应原理表述如下：如果随着量子数的增加，相继的各个能量值的差并不发散，那么周期系统就存在着对应性。

因此，我们发现了由壁为刚性的球形匣（它使系统遵从频率对应原理）中粒子组成的系统的特点。也就是说，在与大量子数相应的区域中，球面贝塞尔函数的零点大为增加，这一特点本身又使得各个本征能量彼此非常接近。另一方面，立方盒结构并不具有这种特性。它的本征能量与n²成正比，于是随着量子数的增加，各个本征能量之间的距离分开得越来越大。因此，玻尔频率对应原理是不适用的。当N大于1时，对于由式（4）给出的无限多个光滑变化的势来说，可得到同样的观测结果。

我们可以推断，玻尔频率对应原理不能应用于所有的周期系统。此外，极限n→∞和h→0并不普遍等效。

重要的是应当指出，我们的讨论主要是针对大量子数区域中的频率对应问题的。我们未敢大胆讨论关于在这同一个极限下量子力学过渡为经典物理这个更带一般性的问题。许多作者随意地把这样的推广归功于玻尔的工作。实际上，除了关于射出辐射的强度和偏振的陈述以外，玻尔的论文似乎并未对这些原理作出任何进一步的推广。

[Physics Today，37卷2期（1984）]