按惯例，科学家寻求用最简单的观点看待我们周围的世界。现在，数学和计算机能力导致一种理论。它能帮助研究人员了解自然界的复杂性。混沌理论涉及所有的学科。

如果你在桥上注意顺流漂浮的叶片，你会看见它被陷入小旋流，短时间打转儿，逸出，而后在往下的顺流漂浮中又陷入旋流。当叶片从桥下进入视野便试图推测要发生什么情况，从不止一种意义上看是白费劲，因为叶片位置最微小的偏移能完全改变它未来的进程。

小改变导致以后更大的改变，这种变化过程是混沌的特点。

混沌在自然界到处可以发现，有时甚至在人心脏的搏动中找到。在某种情况下，人心脏能混沌地搏动。心脏受自然起搏器控制，它给心脏稳定的，有规则的搏击，但有时工作彼此不协调，以致在两次搏击之间交替出现长的和短的间隙。在更极端的情况下，节奏变得不规则。一次搏击的时机选择有很小的改变，会使下次搏击时机有较大的改变。搏动变成混沌的，这预示有生命危险。这是一个很好的例子，说明当条件改变时有规则运动何以变混沌。

你在家里听水龙头滴水的声音，能听到这种由规则运动向混沌运动的转变。如果你把炊具的金属碎薄片固定在洗涤池水龙头下方，让龙头慢慢滴水，就会听到对薄片有规则的搏击声。现在把龙头稍稍打开一下，在正常情况下，你会听到了一会儿长一会儿短的搏击声。再稍微拧动龙头，它也永远不会逐渐稳定下来，呈有规则的稳定滴落状态，它变成混沌的了。

混沌具有持续的不稳定性

不稳定性是我们周围环境和我们文化的组成部分。刀刃上保持平衡的场面和最后添加的一根稻草压断骆驼背脊是隐喻生命的不稳定性。

混沌运动与我们在宇宙较大尺度上见到的规则性完全不同。人们总是对四季变化有序，黑夜接着白昼，以及恒星与行量在通过天空时的精确性感到惊奇。这种天文事件全起源于地球和其它行星运动的规则性，早在三百年前就已由牛顿和他的运动定律及万有引力理论得到解释。按照这些定律，太阳和行星现在的位置和速度决定了所有过去和未来的位置和速度。

牛顿运动定律是决定论经典的例子，在决定论中，未来只决定于过去。与科学家在宇宙中寻找有序的这种类型时，他们常常获得成功。但正如我们所知，有序并不是普适的；我们也需要了解无序。

研究无序的最早的数学家之一为拉普拉斯。他生于诺曼底，靠奉承那些当权者而在法国大革命中幸存。拉普拉斯具有彻底的牛顿宇宙观，可是他帮助建立了无序或几率理论，描述大数量的事件何以具有典型表现，即使其中个别事件是不可预测的。这种情况会发生在赌博，在他那个时代赌博像今天一样流行。拉普拉斯甚至把他的几率思想应用于法院。几率理论现在帮助我们在不了解细节的情况下估算艾滋病的传播。

这样在19世纪，对于变化中的系统便存在两种理论，决定性理论和几率理论。这两种处理方式似乎是不相容的。第一种，未来由过去决定，显然并不需要几率。第二种，未来取决于过去是随机的，未来不能由过去决定。

对这种表面上不相容的图景第一个提出挑战的是1920年代和1930年代的量子理论，它也是以几率计算为基础——理论工作者用“几率波”描述电子行为。第二个挑战来自混沌理论。简单的数学分析表明，即使在遵守牛顿运动定律的简单系统中，你并非总能预测下次要发生什么。原因是；有持续的不稳定性存在。这种情况常常出现在客体感受到不止一个力作用的时候。

一个著名的例子是受到下面两个同样的磁铁吸引的摆。当摆锤慢慢运动接近两磁铁的中点时，各个磁铁对它的作用差不多相等。它未来的运动变得对它现在的位置和速度的微小改变极其敏感，于是，运动是混沌的了。假设敏感度是如此之大，测其位置时的误差在两磁铁之间摆动一次便可增加到10倍，这并没有什么异常，在这种情况下，对位置做预报用的是厘米，可是摆动一次后只留下毫米的测量余地。同一预报摆动4次以后测量余地只有细菌的尺度，摆动9次以后，要用比原子还要小的尺度测量。摆遵守牛顿的决定论的定律，但对其未来做长期预报的任何企图都要失败。

然而，这并不意味着我们对这个摆的运动什么都不能说。对于某些初始条件，运动是有规则的，完全不是混沌的，那么我们就能事先做长期预报。借助于几率理论，我们能了解混沌运动的许多特点。如此简单的系统需要运用几率，这对用牛顿传统教育出来的人们无疑会感到十分吃惊！

决定论的混沌理论是决定论和几率以完全意想不到的方式混合的产物。了解一个系统混沌的微妙发展不仅有助于我们描述漂浮叶片的变化过程，心脏搏动的不规则性和龙头滴水的情况，而且能在小尺度和大尺度上描述复杂宇宙的许多方面。混沌正悄悄接近每一科学学科。

天文学家现在用混沌理论模拟早期宇宙的脉动，模拟星系中恒星的运动，以及模拟太阳系行星、卫星和彗星的运动。离家近点，混沌有助于我们研究在地磁附近运动的带电粒子，它进入大气产生极光。混沌理论最激动人心的应用之一，是对影响天气的大气运动的研究。

生物学家也把昆虫称鸟群的变化，传染病的传播，细胞的新陈代谢，刺激沿神经的传送，视为混沌问题。物理学家在原子内的电子运动，分子和气体内的原子运动以及在基本粒子理论中碰到混沌问题。甚至工程师们绝不得不考虑混沌何题，因为它干涉他们的设计。混沌能使设计电路的人受挫。它能导致粒子从粒子加速器或等离子体内损失掉，还能导致汹涌海面停泊船只的倾覆。

混沌的某些最漂亮的例子是在数学方面，表面上看来简单的问题解答却展示出异常复杂的变化过程。过去，在计算机出现以前，这些使科学家们回避的问题，现在可以由计算机帮助解决，这些复杂性很优美，这正是课题的一个主要的吸引人之处。混沌是计算机时代的科学。用于模拟混沌的某些精巧的数学已经在许多领域大量的应用。

尽管如此，你不能到处套用混沌理论。科学采用词汇，根据它独特的含意定形并贯彻到底，“混沌”也不例外。黎巴嫩政治和英国教育看来都是混乱的，但不能用混沌理论研究它们。许多其它情况从无秩序的意义上看也是混乱的，但并不是科学意义上的混沌。

混沌科学像一条河，它已经由许多溪流汇集形成。其源流出自各个学科——数学、物理学、化学、工程学、医学和生物学、天文学和气象学，出自那些研究流体和研究电路的入，出自严格而又精确的理论证明者，以及出自虚张声势的计算机实验者。

混沌中的许多新概念是在不同领域中被独立发现的。研究工作者认识到，虽然它们对非常不同的问题在起作用，但在处理它们时却用的是同一种数学手法。使这一年幼的科学实现统一的许多荣誉应给予像亚特兰大的乔治亚技术学院的J · 福特那样的人们，他们在初期阶段就认识到这种共同特征。

然而，混沌的研究并不全是新内容。一部早期文献出自19世纪的俄国数学家S · 柯瓦列夫斯卡娅。她在德用受到大学教育，其后在瑞典成为欧洲第一位女数学教授。1889年当她为动力不稳定性提供数学定义，定义为测量小偏差增长率的平均值时，她已向混沌的独立理论迈出了一步。她的同胞，A · 利亚普诺夫，使柯瓦列夫斯卡娅的定义更普遍化，现在这种平均值测量一般以利亚普诺夫样板（Liapunov exponent）著称。

但毫无疑问，那个时代最重要的人物是H · 庞加莱，他来自法国东北部的南锡并在巴黎工作。他被称为权威性的全能数学家，但他也理应得到研究混沌第一人的美称。许多混沌理论的现代发展都能追溯到19世纪末他在天体力学方面的经典著作。他知道，他那个时代的方法并不能解答支配太阳系运动的方程式以及许多其它类似动力学系统的运动方程式。他甚至完全想到：表面上看来简单的系统，其不稳定运动能够异常复杂。

虽然庞加莱超前于他的时代，而且未能把他的先见之明传达给他的同时代人，但他发现在天文学实际问题和困难的纯数学问题之间有某种值得注意的关系。结果，他发展了一种新型的数学，叫做拓扑学，一种处理连续性和不同变量之间关系的几何学。拓扑学已经弄清楚是描述混沌过程的强有力工具。

后来，其它法语数学家以庞加莱的理解为基础，着手处理他已经搁置起来的困难问题。例如，1920年代，巴黎的G · 朱莉娅和P · 法图研究了一种特殊类型的抽象的混沌运动，它导致了漂亮的现代“分形”图形，那是纽约州约克敦海茨国际商用机器公司的B · 曼德尔布罗特于1970年代创造的。这些令人喜悦的计算机生成的几何形式几乎装饰了每一本关于混沌的通俗读物与文章。分形几何具有一种嵌入了不规则性的有序，它描述的运动介于规则运动和混沌运动之间。

从庞加莱著作得到的另一条探索途径，展望有序与混沌之间丰富而错综复杂的前景，其视野已延伸得很远。它把庞加莱的复杂动力学过程的拓扑图像用于探求如何把振荡系统变成混沌的。1928年，荷兰工程师B. 范德普尔以庞加莱的动力学拓扑为基础发展了一种振荡电子管——它在无线电里产生哨声——的数学模式。他也研究了搏动的心脏。其后，于1960年代和1960年代，苏联数学家V · 阿诺德详细地分析了像搏动的心脏一样的振荡器的混沌数学。L · 格拉斯和他的同事们在蒙特利尔也用相似的数学方法研究了心脏的原纤维形成作用。

出自简单系统的复杂动力状态

所有这些振荡系统都成为混沌的，因为它们具有“反馈”环节。这种结果是由于系统本身有相反方向的作用产生的。反馈在简单系统中产生复杂的动力状态。1958年，P. J. 米尔贝里在芬兰开始一系列研究，以便绘制出这种动力状态的演变曲线。这一工作以后帮助了普林斯顿的R. 梅了解动物总扳是如何根据食物的供应而波动，然后成为混沌的。R · 肖和他的同事们在加州圣克鲁斯用类似的方法分析了水龙头滴水的变化过程。这种简单系统叫做逻辑斯谛图（Logistic map）。它当然具有混沌系统的行为特征。这种类型运动的最纠缠不清的地方已由乌克兰的A. N. 沙尔科夫斯基于1961年和新墨西哥的M · 费根鲍姆于1978年以前加以解决。一个类似的系统帮助巴黎的D · 吕埃勒和F. 塔肯斯分析了素流过程，帮助波士顿的E. 洛伦茨于1963年分析了天气中的混沌。

“虽然天气一一空气的运动一一肯定遵守决定论的运动定律，但因受如此众多的变化因素影响，由这些定律得出的方程式，就是用最强有力的计算机解起来也太困难了。即使在简单的牛顿系统中，没有能量耗散（所谓的哈密顿系统），诸如星系中恒星的运动，分子中原子的运动，气体中分子的运动，混沌还是会出现。在玛利皇后和韦斯特菲尔德学院（Queen Mary and Westfield College），我们对这些牛顿系统的研究有特殊的兴趣”。当认识到甚至在太阳系中也存在混沌，你或许会感到惊奇。

用爱因斯坦的相对论加以修正，牛顿定律不只用于研究太阳系中大物体的混沌轨道，而且也用于研究粒子加速器内带电的亚原子粒子在电场和磁场内的混沌轨道。这些装置通过使粒子以接近光速的速度碰撞，研究物质的基本组成。为了在实验中获得充足的粒子，粒子必须贮存一天之久，在这段时间内它们所走的路程比地球太阳之间距离的150倍还要长。经过这么长的路程，出现不稳定和混沌的机会多得很，在整个巨型装置内都能以某种形式被发现。混沌造成装置中粒子的损失，这样它们便不再为实验所利用。工程师和理论工作者修正牛顿定律使之适用于相对论，用于研究混沌运动以避免它的出现。

事实上，加速器设计人员早就认识到这个问题。他们是第一批用计算机计算粒子的混沌轨道的。早在1953年，日内瓦的欧洲粒子物理实验室（CERN）的F. K. 戈沃德和M. G. N. 海因就已用伦敦国家物理实验室的计算机证明何以粒子的运动能从有规则的转变成混沌的。

在那时，物理学家并不真正了解正在发生的事是什么。1950年代和1960年代流行的一种较深刻的理解，基本上是苏联理论工作者非同寻常的想法一一A · 科尔莫戈罗夫和他在莫斯科显赫的数学学派，包括V · 阿诺德和Y · 赛奈以及从理论上研究了在新西伯利亚设计粒子加速器问题的B · 奇里科夫和他的合作者。

新西伯利亚位于西伯利亚南部，是赫鲁晓夫发展苏联东部地区计划的主要研究中心，那里的最重要的科学机构之一，便是奇里科夫工作的核物理研究所。他知道戈沃德和海因斯的工作。知道设计粒子加速器时的问题，但他也意识到在其它领域，特别是在天文学领域研究混沌运动的潜在重要性。

早在许多年以前，英国天体物理学家T · 琼斯已经把恒星在星系内的运动比做容器内气体分子的运动。然而，当天文学家用光谱线频移找恒星速度时，他们发现恒星的分布用琼斯的理论做预测结果非常糟糕。显然，天文学家得要通过别的途径探索这个问题。混沌理论与最新的计算机相结合最终提供了前进的途径。

1958年，在瑞典工作的希腊天文学家G. 孔托普洛斯用计算机把牛顿定律应用到研究星系内恒星的运动；结果证明是复杂的。既见树木又见森林不那么容易。

1963年，法国天文学家M · 埃农从位于尼斯的天文台取得惊人的突破。他在普林斯顿工作，那里给了他两种宝贵的财富：一部美国计算机和一位叫C · 海勒斯的有才华的学生，他当时正寻求参加研究计划。由于对琼斯早先想解决的那个问题感兴趣，埃农和海勒斯着手测绘星系内恒星的运行图。最初，埃农对得到如此复杂的结果感到吃惊。但后来，在无意中见到最初由庞加莱示意的某些拓扑学概念之后，他为星系中恒星的运动提出了某些简单的方程式，式中恒星轨道显然在由有规则向混沌运动转变。从那时起这些方程式在牛顿力学中一直被用做混沌运动的范例。

事实上，今天，化学家用这些方程作为分子模型。1974年，N. 庞弗里在玛利皇后及韦斯特菲尔德学院利用这一探索途径证明，混沌在经典的原子系统中，甚至在量子层次这 一 研究的活跃领域都很有意义。然而，对于混沌是否真的渗透到量子领域还有许多争论。

混沌是过去30年科学发展最激动人心和引起人们好奇的科学领域之一。它仍然很年轻，我们仍不知道我们对世界的观点会因此而改变到什么程度。无疑，混沌理论突出了此科技新研究领域介于各学科之间的特征。其理论上的发展是由于抽象数学和今天最重要的研究工具之一的计算机走到一起而产生的。这种充分现代化的结合已经破天荒第一次给研究工作者勇气，鼓舞他们着手解决真实世界不断变化着的复杂性。

[New. Scientist，1989年10月21日]

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* 本文作者为该学院应用数学教授。从1972年以来领导了混沌的研究工作。他对哈密顿系统中的混沌有特殊的兴趣。——译者。