了解到地球绕太阳的轨道像其它行星的轨道一样是混沌的你也许会感到十分惊奇。这对太阳系的将来意味着什么呢？

人们倾向于认为太阳系是一个有序和规则的范例。我们想象行星永久地固定在它们绕太阳运转的轨道上——一座不需要上弦的有序的、可预言的和不变的雄伟庄严的时钟。我们能够操纵“旅行者2”号宇航器飞行差不多50亿公里，12年的旅程从地球到达海王星，并使它按计划进入目标几公里之内。'我们能够接受我们日常生活中所发生的意外变化，甚至接受天灾人祸，然而我们也坚信行星和卫星的轨道是恒定不变的。

我们这些信念的根据何在？太阳系的行为是完全可预言的或行星会不断碰撞吗？这是一个许多天文学家都试图回答的问题，但是仅近10年才对这个问题有较好的理解和可能的解释。取得这一进展的关键来自于混沌的研究，来自于极为简单、确定性的方程能给出复杂的不确定解的研究。混沌揭示出我们的太阳系并非从前我们所想象的那样是可预测的典范。

在17世纪，艾萨克 · 牛顿（Isaac Newton）指出如果两个物体的相互吸引力与它们的质量乘积成正比与它们之间距离的平方成反比，那么一个物体相对另一个物体的运动结果将是一条精确的被称之为圆锥截面的数学曲线（即圆、椭圆、抛物线或双曲线）。虽然牛顿并不是第一个提出力的平方反比定律决定行星运动的人，但是他取得了从数学上证明该定律的巨大成就。

他指出在太阳引力作用下的行星运动将可用椭圆轨道来描述，这种运动的周期将只取决于距太阳的平均距离。用数学语言讲，就是他指出了“两体问题”是可积的，换句话说就是用相对简单的数学方程就能够获得这一问题圆满有效的解。因此，如果我们仅对两体问题感兴趣，我们就能够按任意精度永久地预言系统将来的任何位形。

然而，太阳系并不是仅由两个物体构成的。实际上太阳的引力场支配着所有的行星运动，作为一个好的一级近似，每个行星是在椭圆轨道上绕太阳运动。然而根据平方反比定律，所有的行星也相互影响着彼此的运动。虽然这些影响很小，但我们能够检测出。例如，基本为椭圆的地球轨道在空间并非是固定的：由于其它行星的摄动，最明显的是木星的摄动，地球逐渐以每世纪1.7°的速率趋势在自转或进动。

法国数学家皮埃尔 · 西蒙 · 德：拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）试图通过对行星的引力相互作用的本性作出一些简化假设来解决太阳系的稳定性问题。拉普拉斯指出他的简化体系是可积的和行星的轨道运动具有长期周期性（例如：数万年）：他认为他获得了难以捉摸的解析解。遗憾的是，拉普拉斯在他的理论中所忽略的小项却是能提供混沌可能来源的项。因此，拉普拉斯的稳定性证明不得不打折扣。

拉普拉斯是具有这样一种基本信念——一旦给出支配宇宙的定律，就能利用合适的初值条件求解其方程来发现事物的过去与将来的行为和“…虚无是不确定的”——的众多科学家之一。混沌的研究揭示出既或完全确定的系统，诸如包含引力相互作用的那些系统；都可能是混沌的以及拉普拉斯的世界观是错的。例如，旋转轮盘赌轮上的小球运动原则上说是一个确定性的系统。虽然小球和轮子都受到已知力的作用，试图预言最终的结果未必能取得有奖赏的经验。

现在我们知道除一些特殊情况外，一般重力相互作用的多体（n体）运动——“n体问题”是不可积的。一个较简单的工作就是设法解决三体问题。在19世纪末，法国数学家享利。庞加莱（Henri Poincaré）在一定深度处理了这个问题。从他的手稿可知他意识到了运动方程的某些解的不可预测性。他并未求解三体问题实际上他证明了简单的一般解不存在。因此，庞加莱是第一个意识到仅三体引力相互作用就能产生复杂行为的人。他还认识到在太阳系中，混沌、有序、稳定性和不稳定性与叫做“共振”的现象紧密联系在一起。

共振遍及整个太阳系。当任意两个周期有简单的数字比时就会发生共振。太阳系中天体最基本的周期是它的轨道周期。它是完成一次轨道运动所用的时间，它只取决于距中心天体的距离。例如，木卫一的轨道周期是1.769天，它几乎是下一个卫星——木卫二轨道周期3.551天的一半。它们被说成是一个2：1轨道 - 轨道共振。这种特殊的共振有重要的意义，因为由木卫二的重力所引起的摄动使木卫一的轨道大大拉长或拉扁。在单一轨道运动过程中，当木卫一运动到离木星很近和很远时，它经受巨大的潮汐压从而导致了旅行者号所观察到的活火山。使事情更复杂的是木卫二还同时与下一个卫星木卫三发生2：1共振，这就是拉普拉斯曾研究过的涉及复杂构形的三重奏。

在土星系，卫星共振对包括土卫一和土卫三、土卫二和土卫四以及土卫六和土卫七。天王星卫星系很奇怪没有共振，虽然最近已给出了产生混沌结果的解释。这些行星中，木星的轨道周期为11.6年，土星的轨道周期是29.46年，它们接近5：2共振，而行星间唯一其实的轨道 - 轨道共振是海王星和冥王星之间奇怪的3：2共振，美国海军武器实验所的C：J · 科恩（C. J：Coben）和E · C. 哈伯德（E. C. Hubbard）在1965年通过系统的“数字积分”而不是观测发现了这一现象。当系统的运动方程不能在数学上给出解析解时，一种可能的方法就是用数字计算机求出它们的数字解。虽然数字积分比数学解提供的信息少，但是在现代天文动力学中，它是最有效的工具之一。

共振在卫星系中是如此普通的最可能的原因是因为潮汐的影响。当卫星引起行星潮汐时，它们之间存在角动量的交换，这导致卫星的轨道和行星的自转发生变化。结果，现在天然卫星的轨道与它们原始的轨道可能很不相同；对月球来说这是确信无疑的由于卫星的演化，它的轨道周期改变并且它可能与另外的卫星相遇而发生共振。在一定环境中，卫星被共振锁住并继续潮汐演化，因此维持其共振构形。行星引起的太阳潮次并不重要，因为它包含了较大的相对距离。由此可以解释行星系中很少有轨道 - 轨道共振的问题。

最引人注目的共振实例发生在小行星带（运行在火星与木星之间编了号的4000多颗小行星的集合）。1867年，美国天文学家丹尼尔 · 柯克伍德（Daniel Kirkwood）注意到小行星的轨道并不是随机分布的。在带中相当于与木星共振的区域存在明显的环缝。例如，在3：1共振——2.5天文单位的距离一一或在3.3天文单位的3：1共振处没有小行星。这是在卫星系中在共振中偏爱天体的地方所发现的相反情况。虽然在柯克伍德时代只知道不到100颗小行星，但他涉及与木星共振相联系的结论是正确的，最近天文学家才对这一环缝作出满意的解释。

天文学家们已经提出了几种解释环缝的理论，如有的认为环缝是一种动力学“幻影”，还有的则认为共振增加的碰撞使小行星物质磨损，产生的天体太小以致不能观察到等等。1981年，斯坦 · 德莫特（Stan Dermott）和我在康奈尔大学开始研究有关小行星的轨道分布来设法弄清哪一种理论是正确的。我们的结论是用包含太阳、木星和一颗小行星的简单三体问题是能够解释环缝的。但我们仍缺乏一种能实际把小行星从共振中排除的机制，虽然我们认识到我们能在计算机上处理这个问题，通过求解运动方程来研究小行星数百万年的行为。这种方法的主要障碍在于经费一计算机时并不便宜。

1981年有了突破，当时加利福尼亚理工学院的博士研究生杰克 · 威兹德姆（Jack. Wisdom）发展了一种新的研究共振小行星运动的数字方法。威兹德姆懂混沌动力学，他尤其熟悉怎样用“映射”来加速数字计算工作。已知系统某一时间的状态；映射就能给出一种精确的计算系统以后某一固定时间区间状态的代数方法。虽然还必须在计算机上实现映射；但利用映射可便计算速度提高1000倍。作为他论文工作的一部分，威兹德姆利用映射研究了3：1木星的共振运动。他指出在太阳和木星的引力影响下运动，处于共振的小行星在它们的轨道上将经受较大的、不可预测的变化。威兹德姆继续指出这些轨道与火星的轨道发生交叉并最终会发生碰撞或被行星所散射。这就是天文学家们一直在寻找的排除（removal）机制。

威兹德姆指出在3：1共振有一个很宽的混沌带，它与观察到的柯克伍德环缝的宽度相一致。这一发现能解决太阳系动力学中的另一个问题。大多数人认为陨星是最终与地球碰撞的小行星的碎片。通过找出陨星在太阳系中它们被宇宙射线照射的时间，你能够测量它们的“年龄”。球粒陨星是一类特殊的陨星成员，它们只有几百万年非常短的曝光年龄。华盛顿特区卡内基学院的乔治 · 韦瑟里尔（George Wetherill）指出这些陨星必是来自于3：1共振的附近，但他缺乏机制。威兹德姆提出的机制和进行的数字积分表明处于3：1共振态的天体的混沌轨道能够偏心到足以使它们与地球的轨道发生交叉。

地球交叉轨道上的天体来自哪里的整个问题是一个更抽象的学术问题。较大的小行星与地球的碰撞将是我们的行星所面临的危害最大的自然灾难之一。3：1环缝并不是完全没有小行屋。在环缝中至少有两颗小行星一一阿林达（Alinda）和奎茨阿尔科阿特（Quetzalcoatl）——在与木星共振，在2004年将在距地球0.011天文单位内通过的小行星——1989AC——也可能在这一环缝与木星共振。研究太阳系的动力学家们了解这些天体来由什么地方以及它们怎样演化是重要的。这就需要混沌的知识。

涉及共振关系的两个属期不一定必须是轨道周期；太阳系中另外一种普通形式的共振是天体的自转周期（使轨道绕自己的自转轴旋转一周所花的时间）与它的轨道周期具有简单的数字关系的自转轨道共振。例如，水星被锁在3：2的自转 - 轨道共振上。更明显的例子是我们的月球；它在同步自转，因为是1：1自转 - 轨道共振，所以使它总是以相同的一面朝着地球。直到外层空间飞行的时代月球较远的另一面才被暴露在我们再前。太阳系中的大部分天然卫星都处于同步自转状态；虽然这并不是它们的原始状态：因为潮汐的影响它好演化成这样的构形。一种简单的理论使我们能预言演化成同步状态的时间尺度。时间尺度取决于卫是的质量和它离中心天体的距离。

在旅行者母与土星相遇之前，人们很想知道卫星土卫七是杏是同步自转的。它毕竟很小而且是最远的土星卫星之一。”“旅行诸2”号的观察揭示出它是一个形状不规则，外形有点像一个汉堡包或土豆的天体。“施行者1”号和“旅行者2”号对土卫七的自转测量表明它的自转周期是13天，而相应的轨道属期为21天，因此土卫七似乎并不表现出明显的自转 - 轨道共振。

1984年，杰克 · 威兹德姆和在加利福尼亚大学工作的斯坦 · 皮尔（Stan Peal）以及在格拉斯（法国）的地球动力学和天文学探测研究中心（CERGA）的圣 · 巴尔巴拉（Santa Barbara）：和弗朗索瓦 · 米尼亚尔（Francois Mignard）发表了一篇著名的论文，在这篇论文中他们指出解决卫星自转的简单理论不能用于土卫七，因为出卫七很显然不是球体。土卫七的自转不仅不同步面且也不是规则的；它是混沌的。威兹德姆、皮尔和米尼亚尔选一步指出土卫七还是“姿态不稳定的”，这眯着它的自转轴不是固定的、卫星在空间翻筋斗以及在混沌状的自转着。在正常环境下，卫星的轨道将更似一个圆，混沌行为将最终消失，但具有讽刺意义的是极小的土卫七被锁在明显稳定的与土星大质量的卫星——土卫六发生的4：3轨道 - 轨道共振上。这就使土卫七的轨道被拉扁而不是圆，因此混沌存留，产生了一颗具有一个规则轨道同时又在混沌自转的卫星。

因此，混沌运动在太阳系中以各种形式存在。然而行星的轨道是混沌的吗？这个问题的答案有可能来自于用新一代的数字计算机作行星系的长期积分计算的结果。在这10年，已作了大量有关木星、土星、天王星、海王星和冥王星运动的独立研究工作。众所周知，内行星很难包含这些积分，因为必须取极小的时间步长才能精确地跟踪它们。

由格拉斯哥大学的阿奇 · 罗伊（Archie Roy）所领导的太阳系动力学家国际合作小组在伦敦大学的克雷（Cray）超级计算机上实施了LONGSTOP（带外行星的长期引力研究）方案。这项研究包含了对1亿年的外行星的轨道积分。研究结果表明外行星之间存在一些奇怪的能量交换）但没发现明显的不稳定性迹象。另一方案包含格里 · 萨斯曼（Gerry Sussman）以及他领导的麻省理工学院研究小组建造的数字太阳系仪（Digital Ornery）。这个小组使用这台装有计算机结构设计的机器来模拟行星之间的相互作用并对8.45亿年（太阳系年龄的20%）的外行星的轨道作积分。1988年，萨斯曼和威兹德姆使用太阳系仪作出的积分表明冥王星的轨道显示出混沌的记录信号，这部分归于它与海王星产生的特殊共振。然而这并不意味着共振是不稳定的或冥王星和海王星可能发生碰撞，即使它们的轨道出现交叉。最近的工作表明这种混沌是在共报里面出现共振的结果；这能限制冥王星的漫游范围并保护它与海王星的主共振。

如果冥王星的轨道是混沌的，那么学术上整个太阳系都是混沌的，因为每个行星、甚至像冥王星那样小的行虽都在通过引力相互作用在 一定程度上影响其它的行星。但目前我们认识到虽然混浊意味着某些轨道是不可预测的，但这并不是说行星会发生碰撞——混沌运动可能仍是受限的。1989年在巴黎法国天像研究局工作的雅克 · 拉斯卡（Jacques Laskar）发表了他计算的2亿多年太阳系的数字积分结果。他的方程不是完备的运动方程，而是沿用拉普拉斯的方法导出的平均方程。然而，与拉普拉斯不同；拉斯卡的方程有15万项。拉斯卡的工作表明地球的轨道（以及所有内行星的轨道）是混沌的，即使今天地球的位置测量准确到误差小到15米，要预言1亿多年的时间中地球将位于它轨道的什么地方都是不可能的。

拉斯卡的结果还有待对完备运动方程作积分来进一步证实，但这也许不得不等待下一代超级计算机的诞生。但使我们感到安慰的是拉斯卡的结果并没暗示有任何轨道灾难会降临我们的地球，它只是说地球将来的轨道是不可预测的。太阳系是混沌的但受到约束似乎是可能的，虽然我们还必须加以证明。牛顿原理发表三百多年来，我们仍然一直在努力挖掘他这一简单的重力平方反比定律的深刻含义。我们已开始瞥见我们太阳系混沌的一线曙光，它正在揭示太阳系这座雄伟庄严的时钟的真实复杂性。

[New Scientist，1989年11月25日]