模糊逻辑

[摘要]本文系根据作者的“在卢卡契维奇逻辑基础上的模糊逻辑及其在诊断和控制中的应用”一文的前三章节译而成。原文第一章引言、第二章模糊逻辑、第三章模糊推理、第四章模糊反问题的解的方法、第五章应用到模糊环境下的诊断、第六章应用到使用模糊信息的控制。该论文前三章综述了模糊逻辑的主要结果、可供对这内容感兴趣的同志参考。原文前三章约三万字。限于篇幅，我们删去了其中部分数学内容。

一、引 言

当我们面临一种复杂现象，要处理它们的时候，有两种对立的观点可供选择。一种是引入简单而精确的概念以便了解它们，但是当实际问题的复杂性增加时，以这些概念为基础的理论与复杂的实际问题的吻合程度就会越来越差。与上述方法相对立的另一种方法，是引进一个复杂现象的模糊模型。它既不是严密的，又不是很不严密的，这样一种模糊模型会有更多的应用。

前一种观点意味着按照精确的规律探索科学真理的态度。它起源于毕达哥拉斯公设，这公设断言所有事物的存在是和数学的谐和联系在一起。在这种态度下，认识某事物只意味着能用数学语言描述这现象。因而，它要求用精确和精炼的概念去简化现象。显然，这种方法在自然科学的科学发现中已取得了不少的成就。那么，对软科学它又如何呢？事实上，这种科学方法的许多成就已经影响了广阔的软科学领域，如经济、心理学等。但是还不能说，在软科学中应用这种方法像在硬科学中那样成功。因为从这些极端的概念得到的理论有时仅仅是一种脱离实际的逻辑系统。例如在经济学中有一种总体均衡理论，由于在演绎推理中人为的精确性和逻辑相容性，以致被认为仅仅是一种人为的逻辑虚构。

近来已认识到，建立在集论和二值逻辑基础上的经典数学，作为认识人类系统——在这里，人类的判断、理智和感情扮演主要角色——的工具是太刻板了。正如L. A. Zadeh所指出的，在人类系统中的基本概念，与其说是精确的，不如说是模糊的，与其说是严密的，不如说是近似的。

为了研究人类系统，理应考虑前面提到的后一种观点。L. A. Zadeh在1965年中提出了模糊集的概念是为了处理那些用通常的数学技术是太复杂和太难定义的现象。从模式识别、聚类分析、决策过程、医疗诊断、自动机和其他领域的迅速发展看来，可以预期模糊集和系统有密切的关联。例如，E. H. Mamdani提出的模糊控制器已应用到某些实际问题中。特别是L. A. Zadeh提出的语言近似和模糊逻辑，它们的最新发展为认识人类行为提供了一种新的见解。但是，这个领域尚处于发展中的萌芽阶段，正如B. R. Gaines指出的，我们不需要一个统—的模糊逻辑作为含糊命题的模糊推理的基础，甚至我们还不知道，是否应该有一个统一的模糊逻辑、尽管如此，L. A. Zadeh提出的方向，在研究人类系统中是富有成果的。

在本文中，我们讨论模糊逻辑及其在实际问题中的应用。我们应用的模糊逻辑是1930年卢卡契维奇提出的所谓卢卡契维奇无限值逻辑的模糊化。在这种模糊逻辑中，我们用模糊集来处理包含模糊词的模糊命题，用模糊真值来描述命题的真伪状况。例如，我们说“本文与模糊逻辑的理论研究密切相关”是或多或少真，“它与模糊推理的算法的发展有很深的关系”是非常真的，“它的主要目的是研究应用问题”是不太假。上述这些模糊判断看来足以刻划本文。

二、模糊逻辑

2.1. 术语和记号

在模糊逻辑中，真值是以语言的形式给出，命题中的含糊的谓词是用模糊集来描述的。

下列字母

p，Q，R，…

无论在非模糊的和模糊的论述中，都将被用作为命题、语句或判断的记号。一个命题P的经典的数值真值用/P/或小写字母p来记。前一记号特别使用于复合命题的真值。另一方面，P的语言真值用加黑线的词P来表示，如非常真，不非常假，完全假等等，它们定义为V上的模糊集，其中V是数值真值［0，1] 全体。

语言全集X的一个模糊子集A表示为

如果用两值逻辑，我们一定要说，P是真的，或者说P是假的；如果我们使用随机的方法，可以说P真的可能性例如是0.7；在多值逻辑中，我们最多也只能说P的真值是，例如0.8；而在每天的讲话中，我们会说像“P是完全正确的”这样的话。在上述四种说法中，最后一种说法最为自然，因为它与命题P中的词“非常善良”在模糊的意义下最为相称，而其余的说法在相比之下是过于精确了。因此，如果我们要用一种数学方法去处理诸如“非常善良”“很对”等语言表述，就会需要一个有效的工具去处理模糊命题的真值状态。L. A. Zadeh提出的语言变量的概念对这个课题很有用。他定义了一个模糊变量、一个语言变量和一个语言真值变量。在这里，我们只须知道语言真值的定义，它可作为通向模糊逻辑的桥梁。

命题P的语言真值记为P，它是真值V的一个模糊子集。今后将假定V=[0，1] ，在[0，1] 中的一个点的真值，例如/P/=0.8是指数值真值。以后，将P写成

上述的完全真、完全假分别对应于两值逻辑中的真和假。

2.3. 卢卡契维奇无限值逻辑的模糊表示

这里讨论由L₁（卢卡契维奇无限值逻辑的简写）的模糊表示导出的模糊逻辑。模糊逻辑是一个“软”逻辑，用它将模糊集的判断与语言真值相联系比联系数值真值好；因而，基于模糊逻辑的推理形式是近似的，而不是精确的。把L₁中的真值规则看作非模糊函数，把扩张原理应用到函数上去而得到的模糊表示，将允许我们对模糊逻辑中的逻辑联结词给出一个分析表述。

首先，我们叙述由Zadeh提出的模糊集的扩张原理和直积。

[定义2.1] 扩张原理（Zadeh）

设f是X到Y的映射，且设A是X的一个模糊子集，表示为

上述结果就是模糊逻辑中逻辑联结词的分析表达式。

2.4. 逻辑联结词的运算

首先我们需要一些数学上的预备知识。

如果A是U的一个模糊集，则A的α水平集是一个非模糊集，记为它是A^α，它是U中所有那些对A的从属程度大于等于α的元素所组成，写成符号

从上述讨论，得知一个模糊子集能用它的α水平集这个无限非模糊区间集所表出，其中α∈[0，1] 。因而为了导出我们讨论的命题的语言真值，可以考虑设法得到它的α水平集。

假定P^α，Q^α由下式给出

三、模糊推理

3.1. 模糊推理简介

L. A. Zadeh认为人类推理的本质和威力在于能直接掌握和利用不精确的概念。大家期望对模糊逻辑以及对语言的研究，能为认识人类的推理过程提供了一个新的途径。近年来Zadeh在近似的条件下，对模糊推理已经给出了一种模式的细节。在近似推理方法的精确研究中，最惊人的发现是Zadeh提出的推理的复合法则。例如命题