Ⅰ
研究一下伟大数学家或一般数学家的著作，人们不能不注意到和区分出两种相反的趋势，或者毋宁说是两种完全不同的精神类型。一些人尤其专注于逻辑；读读他们的著作，人们被诱使相信，他们运用沃邦（1639一1707，法国著名的军事工程师和元帅——译注）的方法；只是一步一步地前进。这种方法推动他们有步骤地工作，去夺取一个更为有利的位置，而没有随便抛弃任何东西。另一些人受直觉指引，他们像勇敢的前卫骑兵，迅猛出击，但有时也要冒几分风险。
所探讨的问题迫使他们采取这种或那种方法。虽然人们往往称前者为解析家，称后者为几何学家；但是这并不妨碍第一种人依然是解析家，即使当他们研究几前学的时候；而另一种人还是几何学家，即使当他们从事纯粹解析的时候。正是他们精神的本性，使他们成为逻辑主义者和直觉主义者，当他们处理新课题时，他们也不能把它撇到一边。
在数学家中间，并非教育能助长一种趋势而抑制另一种趋势。数学家是天生的，不是人为的，他似乎生来就是几何学家或解析家。
我乐于引证一些例子，这样的例子实在太多了；但是，为了强调对照，我愿以一个极端的例子开始，请允许我在两个活着的数学家中寻找例证吧。
梅雷（Meray）先生想证明，二项式方程总是有根，或者用通俗的话说，角总是可以剖分。如果存在着任何用直接的直觉可以感受的真理，那么它就是这样的真理。谁会怀疑一个角总是可以分为任意等分呢？梅雷先生却不如此观之；在他看来，这个命题根本不是明白的，他需要几页篇幅去证明它。
另一方面，看看克莱茵（Felix Klein）教授；他正在研究函数论的一个最抽象的问题：确定在给定的黎曼（Riemann）曲面上，是否总是存在着具有已知特性的函数。这位著名的德国数学家做了些什么呢？他用电导率按某些规律变化的金属面代替他的黎曼曲面。他把金属面上的两个点与电池的两极联接起来。他说，电流必定通过金属面，电流在面上的分布将确定一个函数，该函数特性恰恰就说明所要求的特性。
毋庸置疑，克莱茵教授完全了解，他在这里提供的仅是一个梗概；不过，他还是毫不犹豫地发表了它；他恐怕认为，他从中发现，即使这不是严格的证明，但至少在信念上是可靠的。逻辑主义者极端厌恶地排斥这种概念的形成，或者更确切地讲，他不可能排斥它，因为在他的思想中从来也没有产生这种概念。
请容许我再比较两个人，他们俩是法国科学的光荣，最近去世了，可是他们的业绩早就永垂不朽。我讲的是贝尔特朗德（Bretrand）先生和埃尔米特（Hermite）先生。他们同时在同一学校上学；他们受相同的教育，处于同样的影响之下；可是差别却何等之大！这不仅在他们的著作中显现出来，而且在他们的教学、谈吐方式、甚至在他们的外表中都有所表现。这两个人的风采在他们所有学生的脑海里铭刻下永不磨灭的印记；对于那些乐于聆听他们的教导的人来说，这种记忆依然历历在目，我们很容易回想起它。
贝尔特朗德在讲演中总是动来动去，他时而仿佛与某些外来之敌战斗，时而用手势描绘他所研究的图形的轮廓。显然，他想象着，并试图去描绘它，这就是他为什么要借助手势。而埃尔米特则迥然不同；他的双眼似乎避免与世界接触；他寻求真理的妙诀不在心外，而在心内。
在本世纪的德国几何学家中间，有两个人尤其遐迩闻名，这两位科学家奠定了广义函数论，他们是维尔斯特拉斯（Weierstvass）和黎曼。维尔斯特拉斯把一切都归结为级数及其解析变换；为了更好地表示，他把解析化为类似于算术的拓展；翻阅他的全部著作，你找不到一张插图。相反地，黎曼却同时求助于几何学；他的每一个概念都是一 幅图像，人们一旦明白了它的意义，便会永志不忘。
其后，李（Lie）是一位直觉主义者；读其著述，顿生疑团，经他道破后，人们便涣然冰释；你同时看到，他用图形思维。而科瓦列夫斯基夫人（Madame Kovale vski）则是一位逻辑主义者。
在我们的学生中间，我们也注意到同样的差别；一些人更喜欢用“解析”处理他们的问题，另一些人则用“几何学”。前者不能在“空间中想象”"，而后者则十分厌倦冗长的计算，很快就变得晕头转向。
对于科学的进步来说，这两类精神同样是必要的；逻辑主义者和直觉主义者都获得了其他人没有作出的巨大成就。谁胆敢冒昧地说，他宁愿维尔斯特拉斯永远不著书立说，或者宁愿世上从来就没有黎曼这个人呢？而且，分析和综合二者都有其合法任务。比较周密地研究一下它们在科学史中所起的作用，是饶有兴味的。
Ⅱ
太奇怪了！如果我们浏览一下古人的著作，我们情不自蔡地把她们统统归入直觉主义者之列。然而，人的本性总是相同的；要在本世纪开始创造出专注于逻辑的精神，这几乎是不可能的。
假使我们使自己置身于古代几何学家所处时代的占统治地位的观念潮流中，那么我们会清楚地认识到，他们之中的许多人在倾向性上都是解析家。例如，欧几里得创造了科学结构，他的同代人没有从中挑出毛病。在这个庞大的建筑物中，它的每一个部件不管怎样都归因于直觉，可是，我们今天依然可以毫不费力地从中辨认出一位逻辑主义者的工作。
变化的不是精神，而是观念；直觉精神依然是相同的；可是，他们的读者却要求他们作出较大的保留。
这种演变的原因是什么呢？
直觉是不难发现的。它不能给我们以严格性，甚或不能给我们以可靠性；这一点愈来愈得到公认。
让我们举一些例子。我们知道，存在着没有导数的连续函数。没有什么东西比逻辑给予我们的命题更让直觉震惊了。我们的祖先不假思索地断言：“每一个连续函数都有导数，这是很明白的，因为每一条曲线都有切线。”
直觉怎样能够在这一点上欺骗我们呢？正因为当我们试图想象曲线时，我们无法把它描绘得没有宽度；正是这样，当我们描绘直线时，我们把它看成某一宽度的直带。我们清楚地认识到，这些线没有宽度；我们力求把它们想象得越来越窄，从而趋近极限；我们在一定的限度内这样做，但是我们从来也不会达到这一极限。于是，很显然，我们总是可以把这两条窄带——一条直的、一条曲的一一画在这样的位置上，使得它们轻微地相犯而不相交。
若不管严密的解析，从而我们将得出结论：曲线总是有切线。
我愿把狄利克雷（Dirichlet）原理作为第二个例子，如此众多的数学物理学定理都建立在该原理上；今天，我们通过十分严格、十分冗长的推理证明它；相反，在此之前，我们却满足于概括的证明。与一任意函数相关的某一积分永远不为零。人们由此断定，它必定有极小值。这一推理中的缺点直接冲击着我们，因为我们使用了抽象的术语——函数，因为我们熟悉，当在最普遍的意义上理解这个词时，函数能够呈现出的所有特异性。
但是如果我们利用具体的图像，那我们就没有同样的函数。例如我们把这个函数看作是电势，情况就不同了；可以认为，断言能够达到静电平衡是合理的。然而，物理比较也许能唤起一些模糊的怀疑。但是，如果谨慎地把推论翻译成几何学的语言，即介于分析语言和物理学语言之间的语言，那么毫无疑问，这种怀疑便不会产生，这样一来，人们即使在今天还能欺骗许多没有预先告诫的读者。
因此，直觉没有给我们以可靠性。这就是演变为什么必然发生；现在，让我们看看它是如何产生的。
人们将立即注意到，除非严格性先进入定义中，否则就无法在推论中引入严格性。
因为数学家所处理的大部分对象长期以来都没有完全定义；他们假定它们是已知的，由于他们借助于感觉和想象来描述它们；但是，人们仅有粗糙的图像，而没有一个推理能够赖以成立的精确观念。
因此，逻辑主义者必须付出他们的努力。在不可通约数的情况中就是这样。我们归因于直觉的连续性的模糊观念分解为关于整数的不等式的复杂系统。
借助于这种方法，由通过极限或考虑到无限小而引起的困难终于被消除了。
今天，在解析中，仅仅剩下整数，或者说，整数的有限或无限的系统被相等或不等的网格约束在一起。
正如数学家们所说，数学被算术化了。
Ⅲ
第一个问题呈现出来。这种演变终结了吗？
我们最终达到绝对的严格性了吗？在每一个演变阶段，我们的祖先也曾认为，他们已经达到了严格性。如果他们欺骗了自己，我们同样也欺骗我们自己吗？我们自信，我们在推理中不再诉诸直觉；哲学家告诉我们，这是一种假象。纯逻辑永远也不能使我们得到任何东西；它不能创造任何新东西；任何科学也不能仅仅从它产生出来。
在某种意义上，这些哲学家是对的；要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一词后，潜藏着多少不同的意思呢？
比较一下这四个公理：（1）等于第三个量的两个量相等；（2）若一定理对数1为真，假定它对n为真，如果我们证明它对n+1为真，则它对所有整数均为真；（3）设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间；（4）通过一个定点仅有一条直线与已知直线平行。
所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则；第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础；第三个求助于想象：第四个是伪定义。
直觉不必建立在感觉明白之上；感觉不久便会变得无能为力；例如，我们无法想象千角形，可是我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。
你们知道彭赛列（Poncelet）借助连续性原理所推断的东西。彭赛列说，对实量为真之理对虚量也应为真；对有实渐近线的双曲线为真之理从而对有虚渐近线的椭圆也应为真。彭赛列是十九世纪最具有直觉思想的人之一；他对直觉是如此之酷爱，如此之夸耀；他把连续性原理视为他最大胆的一个概念，这个原理还不依赖感觉的明白。更确切地说，把双曲线看作与椭圆类似，是与这种明白相矛盾的。这只是一种早熟的、本能的概括，而且我不想为之辩护。
于是，我们有多种直觉；首先，求助于感觉和想象；其次，通过归纳进行概括，而归纳可以说是摹写实验科学的程序；最后，我们有纯粹数的直觉，我刚才阐述的第二个公理即由此而生，它能创造真正的数学推理。
我在上面已用例子表明，前两个公理不能给我们以必然性；但是，谁当真会怀疑第三个呢？谁会怀疑算术呢？
于是，在今日的解中，当人们想千方百计地追寻严格性时，除了三段论或诉诸纯粹数的直觉外，则别无它法，唯有这种直觉不会欺骗我们。可以说，绝对严格性今天已被达到。
Ⅳ
哲学家还作出另外的诘难，他们说：“你在严格性方面有所得，你将在客观性方面有所失。你只有割断把你和实在连接起来的结合物，你才能达到你的逻辑思想。你的科学是确实可靠的，但是只有把它束缚在象牙塔内，断绝它与外界的所有联系，它才能够连续存在下去。若试图稍稍应用它，它就会从这个囚禁之处逃逸出去。”
例如，我企图证明，某一特性附属于某一对象，该对象的概念乍看起来似乎不可定义，因为它是直觉的。起初，我或者失败，或者必须满足近似的证明；我们决定给我的对象下精确的定义，这使我以无可指责的方式确立这一特性。
哲学家说：“于是，依然要证明；对应于这个定义的那个对象的确与你通过直觉所认识的对象是相同的；或者依然要证明，你自信你辨认出的与你的直觉观念一致的真实而具体的对象对应于你的新定义。然后，你才能断言，它具有所述的那种特性。你只不过是转移了困难而已。”
情况并非如此；困难没有转移，它只是被分开了。所确立的命题实际上由两种不同的真理构成；其一是数学的真理。其二是实验的真理。唯有经验能够告诉我们，某个真实而具体的对象对应于或不对应于某个抽象的定义。这第二种真理在数学上未被证明，它也不能用数学证明，物理科学和自然科学的经验定律同样也不能用数学证明。要打破砂锅问到底也许就不合道理了。于是，把长期以来错误地混为一谈的东西区分开来，这不是一大进展吗？
这意味着统统驳回了哲学家的这一诘难吗？我不想那样说；数学科学在变成严格的科学时，它获得如此人为的特征，以致给每个人都留下了印象；它忘记了它的历史起源；我们看到问题应该怎么回答，我们不再理会问题如何提出和为何提出。
这向我们表明，逻辑不是充分的；证明的科学并非全部科学，直觉作为补足物必然保持它的作用，我正要说直觉作为平衡物或作为逻辑的矫正物。
在讲授数学科学时，我有机会坚持直觉应该占有的地位。没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞地玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。
但是，现在我首先要谈谈直觉在科学本身中的作用。如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的。
Ⅴ
我们寻求实在，可是实在是什么呢？
生理学家告诉我们，有机体是由细胞形成的；化学家附加道，细胞本身是由原子形成的。这意味着这些原子或这些细胞构成实在，或确切的讲，构成的唯一的实在吗？这些细胞排列的方式和导致个体统一的方式不也是比孤立的要素的实在更为有趣的实在吗？除了用显微镜外，从未研究过大象的博物学家能够认为他已经充分地了解这种动物吗？
好了，在数学中也有一些与此类似的东西。可以说，逻辑主义者因之把每一个证明分为许多基本演算；当我们已经相继审查了这些演算，并确认每一个都正确无误的时候，我们必绩认为我们已经抓住了该证明的真正意义吗？即便当我们博闻强记，正好运用发明者排列基本运算的顺序而重演它们，从而能够重复这一证明时，我们可以理解它吗？显然不能；我们还没有掌握全部实在。我不知道什么东西造成了证明的一致，这将使我们感到十分困惑。
纯粹解析把许多程序提供给我们使用，它保证这些程序是确实可靠的；它向我们开辟了成千条不同的大道，我们可以满怀信心地迈步在这些大道上；我们确信不会遇到任何障碍；但是，在所有这些道路中，哪一条会最迅速地把我们引向我们的目标呢？谁将告诉我们应该选择哪一条呢？我们需要使我们具有一览遥远目标的本领，直觉就是这样的本领。为了选择这样一条路线，必须具有探索者的本锁；对于那些追随他的足迹、欲知他为什么要选择那条路线的人来说，情况也是如此。
假如你正在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有什么价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他可以在不违反下棋规则的情况下走那一步的，可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。有充分理由表明，对于棋手本人有必要，对发明家来说也是这样。
让我们撇开这种比较而返回到数学上来吧。
例如，看看连续函数观念所发生的情况。起初，这仅仅是可感觉的图像，例如用粉笔在黑板上勾划的连续痕迹的图像。然后，它渐渐地变得精细了；不久，它被用来构造复杂的不等式系统，这可以锐是摹写了原始图像的全部线条；这座建筑物竣工后，拱架好像被拆除了，临时作为支架而此后毫无用处的粗糙表象被抛弃了；保留下来的仅仅是建筑物本身，在逻辑主义者看来，该建筑物是无懈可击的。但是，倘若原始图像从我们的记忆中统统消失，那么所有这些课等式以这种方式相互堆叠，究竟是怎样借助于随想而神悟的呢？
也许你认为我使用了过多的比喻；可是请原谅我再作一个比喻。你无疑见过形成某些海绵骨骼的硅质针状的纤细集合物。当有机物质消失时，留下的只是易脆的美丽的网眼薄纱。的确，除了二氧化硅外别无它物，可是有趣的是这种二氧化硅所具有的形状，如果我们不知道正好使二氧化硅具有这一性状的活海绵，我们便不能理解它。因此，根据我们祖先的古老的直接观念，即使当我们已经抛弃了它们，它们的形式还铭刻在我们用来代替它们的逻辑结构上。
对于发明家来说，这种集合物的观点是必不可少的。逻辑能够把它给予我们吗？
不能；数学家给它起的名字足以证明这一点。在数学中，逻辑被称为解析，解析意味着分解、分析。因此除了解剖刀和显微镜外，不会有其它工具。
这样一来，逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可。唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。
Ⅵ
但是，在提出这个结论时，我们总是顾虑重重。
当初，我区分了两种类型的数学精神，一类是逻辑主义者和解析家；另一类是直觉主义者和几何学家。咳，解析家也是发明家。我前面列举的人名足以说明这一事实，没有必要详述了。
在这里，存在着一个需要解释的矛盾，至少在表面上是这样。
首先，正像形式逻辑规则要求这些逻辑主义者那样，他们总是从一般到特殊，你认为是这样吗？于是，他们无法开拓科学的疆界；科学的征服只能靠概括进行。在《科学与假设》的一章中，我有机会研究了数学推理的本性，而且我已经表明，在不失去绝对严格性的情况下，通过我称之为数学归纳法的程序，这种推理如何把我们从特殊提升到一般。
正是借助于这种程序，分析才促成了科学的进步，如果我们审查一下他们证明的细节，我们将会发现，它每时每刻都可与亚里士多德经典的三段论相比。
因此，我们已经看到，解析家并非仿效经院哲学家，仅仅是三段论的制造者。
还有，你认为他们看不到他们希望达到的目标，总是一步一步摸索着前进吗？他们必须推测通向那里的道路，为此他们需要向导。
这个向导首先是类比。
例如，分析中一种宝贵的证明方法是建立在强函数使用之上的方法。我们知道，它已经用来解决了许多问题；那么，希望把它应用到新问题中的发明家的作用何在呢？最初，他必须辨认这个问题与用这种方法已经解决的那些问题类似；然后，他必须考查这个新问题在什么方面与其他问题不同，从而推断应用该方法所必须的修正。
但是，人们怎样察觉这些类似和这些差别呢？
在我刚才举的例子中，它们几乎总是一目了然的，但是我可以找到它们潜藏得比较深的其他例子；为了发现它们，往往需要非同寻常的洞察力。
为了不使这些隐藏的类似逃脱，就是说，为了成为一个发明者，解析家必须在不借助于感觉和想象的情况下，直觉到一项推理的一致性由什么构成，也可以这样说，它的精髓和内心深处的灵魂由什么构成。
当人们与埃尔米特先生谈论时，他从来也不乞灵于一幅感觉图像，但是你立即就会觉察，最抽象的实体对他来说都像栩栩如生的存在一样。他虽然不目视它们，但心里却领悟它们不是人为的集合物，它们具有某一内部统一的原则。然而，有人会说，它还是直觉。我们能够得出，最初所作出的区分仅仅是表面的，仅存在一种精神，所有的数学家都是直觉主义者，他们至少具有发明的能力吗？不能，我们的区分对应于某种实在的东西。我在上面已经说过，存在着许多类型的直觉。我说过，严格的数学归纳法所渊源的纯粹数的直觉与主要凭恰当地称之为想象的可觉察的直觉，是何等大相径庭。
把它们分隔开的鸿沟没有起初看到的那么幽深吗？稍加注意，我们能够辨认出这种纯粹的直觉不借助于感觉就无法做吗？这是心理学家和玄学家的事情，我不想讨论这个问题。
此事虽未确定，但在分辨和坚持两种类型的直觉之间的基本差别方面，足以证明我是正确的；它们没有相同的对象，它们似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能；人们也许会想象两盏探照灯，引导陌生人相互往来于两个世界的情景。
正是纯粹数的直觉。纯粹逻辑形式的直觉，启发和引导我们称之为解析家的人。
就是这种直觉，不仅使他们能够证明，而且使他们能够发明。借助这种直觉，解析家一眼就觉察到逻辑大厦的总图，而且似乎在没有感觉介入的情况下也是这样。
正如我们已经看到的，想象并非是确实无误的，凭借直觉，解析家在舍弃想象的帮助的情况下也能够勇往直前，而不担心上当受骗。因此，不要这种帮助而能够有所作为的人是幸运的！我们必然羡慕他们；可是，这样的人却为数甚少！到那时，在解析家中间将有发明家，可是他们却寥寥无几。
如果我们希望仅凭纯粹直觉放眼眺望，那么我们中的大多数人立即就会感到头晕目眩。由于我们软弱无力，我们需要一个比较坚强的助手；而且不管我刚才讲的例外，没有一个人怀疑可觉察的直觉在数学中是最有用的发明工具。谈到这些见解，又有一个问题提了出来，我既无暇解决它，甚或无暇就它所容许的发展阐述它。
这就是，有作出新的区分、有在解析家中间区分出首先使用纯粹直觉的人和首先专注于形式逻辑的人的余地吗？
例如，我刚才列举的埃尔米特不能归之于几何学家之中，而他却使用了可觉察的直觉；但是，他也不能恰当地称为逻辑主义者。他毫不隐讳他对从一般开始、到特殊终结的纯粹演绎程序的反感。
[The Foundations of Science]