绝大多数混沌动力系统均建立在一定的数值计算基础之上，不过，目前有一令人振奋的信号，这就是用易于理解的文字来论证混沌的存在，即使没有机会使用像克雷Ⅱ型最新超级计算机，要用文字来阐述动力学中的混沌现象是不容置疑的。

如今，混沌已经是动力学中被广为接受的基本概念，在描述实际问题的方程中，若其解敏感或者强烈地依赖于初始条件/则意味着系统存在混沌，这样，如果全同粒子从相空间（由位置和速度构成）中不可区分的地方出发，然后它们会很快地互相分离开，因此，人们似乎已作出定论：数值解是研究混沌的主要手段。

显然，这个问题应该更早点提出来，其简单的形式是经典粒子（如台球）的势面散射，在势能范围内粒子具有附加势能而被排斥。正像台球爱好者所熟知的那样，不管对台球散射作怎样的简化，散射的结果常常是冲击参数极敏感的函数，这样的系统应该具有混沌行为是不难理解的。

由于散射中心的性质不同于刚性球，冲击粒子的行为可能更复杂。例如，在核散射中（仍为经典的），设势能空间对某点（原子核）是球对称的，势能沿着接近散射中心的方向逐渐增加，然后增至最大为E_m，卢瑟福第一个计算了作为冲击参数函数的散射角，这种情况确实不会出现混沌。如果冲击粒子的能量E大于E_m，则不难猜出对应碰撞参数的散射角图像。当冲击参数很大或者为零时，那么散射角也为零，即粒子轨道将无偏斜地远离散射中心，而对准中心的仍直穿过去，有些介于两者之间的冲击参数对应散射最大的情况，且最大散射角一定小于x/2。当E小于E_m时情况比较复杂，尽管粒子正对散射中心被反射回来，但仍不能产生混沌。

可是，假如散射中心不是单个势能垒而是多皇，情况又如何呢？布洛赫等描述了形如x²y²e^-(x2+y2)的二维势能函数所出现的现象，式中x和y分别表示坐标，实际上它对应于势能面上有4个相同峰的系统，当E大于E_m时，不难看出散射角是冲击参数的复杂函数，且是稳定的；但如果能量小于最大能量值，系统则陷入混沌状态。把粒子置于这样的系统中，粒子在摆脱之前来回跳跃于最大能量之间，而摆脱的方向却非常敏感地依赖于最初被俘获时的行为。

如此复杂的问题能用文字说明吗？在一定程度上来说，答案是肯定的。他们假定，分别具有最大能量为E_m1、E_m2和E_m3的3个散射中心从小到大依次排列，并认为所能出现的两种情况主要取决于散射中心的几何关系。一是最弱的散射中心位于以其余两个连线为直径的圆周之外，另一个则是位于这种圆周之内。它们的根本区别在于前者的3个散射中心连成的3角形顶角一定小于x/2，而后者大于x/2。问题的关键是预测粒子何时以及如何冲击此系统才能呈现混沌行为。

除非E小于E_m2时不存在把粒子限制在两散射中心之间的冲击轨道，混沌一般很少出现，况且，对于第一种情况，由于在最低峰的最大散射角一定小于x/2，说明粒子从E_m2散射到E_m1后不能再散射到E_m3。但若粒子的能量低于E_m1，就存在无数条俘获轨道，道理很简单，因为大角度的折射是不可避免的。这就是从有序到混沌的突变。

因具有最小能量的散射中心位于上述圆内，那么，第二种情况就复杂多了。如果E大于E_m1而小于E_m2，一切则取决于E_m1是否大得足以使粒子从另一散射中心折射到第三个散射中心。如果能这样的话，由于粒子可有无数条几乎是周期性的冲击轨道，则系统也能很快地过渡到混沌。另一方面，如果E_m1不是充分大，仍存在被E_m1散射后在另两个中心之间停留一段时间的轨道，随着E减到小于E_m2，这种轨道的数目将成倍地迅速增加，其表现方式颇像大家熟悉的混沌系统中的混沌。这种随某些参量的变化而出现附加允许轨道的过程称为分叉（相当于倍周期分叉）。

结论虽简单，但完全可以推广到更复杂的散射总分布。布洛赫及其同事对混沌方面最有意义的工作是论证了：同一动力系统可能以两种不同的方式出现混沌——突变道路或分叉道路。因此，他们认为混沌轨道的分维数随能量E与散射峰能之差而变化的计算分析是有价值的。他们的研究已经使复杂的数值问题几乎文字化了，不言而喻，这给其它方面也带来了新的生机。

[Nature，1989年9月7日]