人们也许认为，“无法预言”、“不可再现”之类的性质在自然科学中是没有地位的，然而它们却正是所谓“决定论混沌”的特征。自从混沌被系统研究以来，人们对混沌的了解日益深刻、日趋广泛。
混沌也频繁出现在量子光学中，大多数正如耗散系统的经典混沌一样，然而本文将要谈到的量子混沌和哈密尔顿系统却并非如此，不过我们只能把讨论限制在少量例子当中。
什么是混沌
在决定论混沌中，人们所理解的混沌是一种动力学系统的历时演化形式，它没有无规律和非周期的随机扰动。其重要标志是所谓对初始条件敏感的依赖性。可表述如下：
人们多次进行同一实验时，不能准确地重复初始条件，而只能在最后误差范围内重复。大多数情况下，实验过程的偏差是无足轻重的。然而也可能遇到这种情形：各实验之间的差别随时间流逝而增大，相空间轨线指数地分开。经过一定时间后，任意小的差别变成了宏观可见的差异，以至于在远离“时间平面”（Zeithorizonts）处，实验过程无法重复，所有预言也都成了侥幸之事。
这种情形的现实可能性，最先是由气象学家爱德华 · 洛仑兹（Edward Lorenz）在本世纪60年代初期对一个强简化的气候模型进行计算机实验时发现的。我们这里不讨论该模型而直接给出其数学形式：
其r、σ、b为常数。
式（1）是三个耦联的非线性一阶微分方程。我们能从该系统看出些什么呢？当时间导数取零时，立刻可得定态解，这时总有X=Y=Z=0三个解。此外，当r≥1时还有解
稳定性分析表明，这三个解仅在其唯一之处是稳定的。当i≤r≤rc且rc =σ（σ+b+3）/（σ-b-1）时，另外一对定态解是稳定的。
借助计算机可讨论当r>rc时是否还有稳定的定态解存在。例如当r=28>rc=24.74时，其轨线相互缠绕，并在过渡衰减之后，时间遍历的复杂几何图形没有自相交（人们注意到，这不适合于相空间小于三维的情形）。这种成对相互缠绕的图形被称为“奇异吸引器，”它没有解析解，其最集中的描述是方程（1）。奇异吸引器的运动由前面提到的指数发散的邻近轨线表征，且其演化是非周期的。上述历时过程便称为混沌，（需要用偏微分方程描述的时空不稳定，目前称为湍流，这里不予讨论）
激光中的混沌
1. 最简单激光情形
具有各向同性增益介质的单模激光，其麦克斯韦 - 布洛赫（Maxwell-Bloch）方程在有关文献中表述为：
其中E为产生光场的电场强度，P为极化强度、D是增益介质的反演，上述每个变量都有自己的衰减率k、γ⊥及γ11。∧是泵浦参量。
H · 哈肯（Haken）1975年曾指出，通过简单的坐标变换，该系统能转化为反映洛仑兹模型的方程（1），此时，E相当于X、∧相当于r，以此类推。于是人们便可根据洛仑兹模型而直接研究这种激光。
人们曾想到，既然最简单的激光广泛地有混沌解，那么其他实际的复杂激光模型或许也能产生混沌。然而是否所有激光都具有混沌性质呢？
答案是否定的。因为大多数激光的三个衰减率取值差别极大，故而方程中的极化强度和（或）场效应的反演将解耦。这样一来，相空间将小于三维，因而混沌不会出现。要使混沌出现，三个弛豫率具有同一数量级是必需的——虽然这并非充分条件：从方程（3）可以看出，对∧>∧c>0，必须首先满足k∧γ11+γ⊥。同时，光场阻尼必须大于介质阻尼的总和。上述条件被称为“不良谐振腔条件”（bad-cavity-Bedingung），它相应于较低的谐振品质。人们在探讨了三个衰减率的所有组合后发现，∧c最小值通常约为9，其中大多数还都略高—些，这意味着，激光的第二阈值位于初级阈值的9倍之处。如果没有单模作用偏差或其他条件，大多数的激光远远达不到如此之强的泵浦作用。
只有一些远红外激光器例外，因为它们的三个衰减率数量级相当而可比。此外，其多普勒传播非常微小，以至于在微小气压时已出现了各向同性的增益线，并且该线总是如此之窄以致由“不良谐振腔条件”即可满足。有关实验真实地表明，据洛仑兹模型预言的全部混沌特征与实验相符很好，因此，激光和洛仑兹模型形式上的等效，已为实验所证明。
要理解单模激光不稳定的机制，就必须首先懂得：光强调制意味着光场中必须有更多的富立叶分量存在，如果我们采用正弦周期强度调制来简化，便可望在调制频率间隔上得到频带s这些间隔可从介质弛豫率数量级上的自激振荡中获得。若谐振腔选择带宽相比之下较大，则频带就能为结构性的干涉所支持。在其他情况下则会被抑制而使谐振腔无法振荡。这可以说是“不良谐振腔条件”的一个直观理由，不过这并不是全部的原因，因为模分裂（Modenauf-spalten）起了重要作用。
我们观察图1的介质增益曲线，它和色散曲线是耦联的（图1a）。人们在图上标明属于相同谐振条件（即这些位置谐振循环中的波长数）的各个频率，并由此得出了有趣的直线。它不仅连接明显，而且与色散曲线有三个交点。这意味着，三个不同频率的光场具有相等的波长，并且都等于共振值！
一旦富立叶分量振荡多起来，激光强度便会改变，且强度又再次作用于交点位置，并由此修正简单共振线形状。饱和的、特别的拉比分裂（Rabi-Aufspaltung）将导致相关频率连续改变，从而产生异常复杂的演化历程。在此，图1这种静态直观的描述便不灵了，它只是在数学处理上还有些可取之处。这种演化是一种典型的混沌过程，人们虽然能据其特征追踪混沌的物理机制，但最终仍须求助于计算机。
2. 扩展的激光模型
现在，我们从上述特定的理想化模型出发，并放宽一些限制条件来讨论。如果例子中激光失谐，麦克斯韦 - 布洛赫方程三个中的两个将变复杂。在有关远红外激光实验中，根据扩展“复杂洛仑兹模型”而做出的预言在实验中经受住了检验。从本质上讲，这里遇到的并不是一种新情况。
多模激光和单模激光两者之间差别很大。上述关于对振荡频带的支持，现在不必再通过模态的谐振曲线而求了。如果频带间隔与自由光谱波段可比，则可用邻近模态代替之。因此多模态情况下，不再需要获得激光第二阈值的“不良谐振腔条件”便是可行的了。当然，9倍泵浦功率仍然是必要的。
而对非各向同性增益介质传播来说，情况则完全相反_尽管“不良谐振腔条件”依然存在，但泵浦功率却再无需达到其初级阈值的9倍了——在有利条件下，第二级阈值几乎与初级阈值相吻合。这一在激光混沌研究中极易看到的特性，还可通过对模分裂的分析来理解。
因为增益曲线上发生了光谱的“孔迹烧”（Lochbrennen），所以色散曲线有一个“凹坑”（图1b）。此时中线处立刻存在模分裂的可能。当光强较大时，模分裂以拉比分裂实现。此外人们还注意到，由分裂引起的频带大约位于孔中间而不是周围，故而可产生较中间频率处更高的增益。由此，具有非各向同性增益曲线的激光，其稳定倾角较大也便是不言而喻的了。
毫无疑问，实际激光中还有许多其他能引起混沌的可能性。麦克斯韦 - 布洛赫方程是以平坦波假设为基础的。人们在研究中还观察到了具有诸如高斯曲线外形的横向光，并据此发现了起因于时空振荡的横向不稳定。当然，如前所述，这里我们不讨论湍流。
被动系统中的混沌
激光是一种典型的量子光学工具，激光中大多数情况下观察到的混沌并不使人感到意外。紧接着我们说明不是来自于激光活动的情形。这些现象的多样性较之前面所讨论的而言，同样重要、同样有趣。下面用三个例子说明。
1. 没有谐振器的不稳定
两列光波彼此相反地通过有依赖于强度的折射率的介质时，其干涉将产生光腹和波节并形成一个折射光栅，从而可使光子散射。显然，这两列波是耦合的。已经证明，由于两列波频率不同，并且每列波在小于其固有频率时产生增益，因而仅发生此光线到彼光线的能量转换，即较高频率的波能在较低频率时转换。这相当于一个朗曼过程（Raman Prozeβ）。增益和反馈（通过光栅）的组合产生不稳定：利用四列波的混合，可产生新的、能够相互作用的富立叶分量。此外，考虑到各种极化分量的存在，有人提出了一种预言混沌的理论。
事实上，实验时已在钠蒸汽里观察到了这种混沌。可惜由于实验条件在许多方面偏离了理论假设，因而无法对之进行直接比较。
2. 由阻滞引起的不稳定
众所周知，具有“时间迟滞”的闭环控制曲线，在特定情况下倾向于产生自激振荡。光学中一个相似现象可见于包含非线性介质的环形振荡器中，因为它的弛豫时间短于光子的循环振荡时间（图2）。
这种介质不仅能改变振幅，而且能依赖于强度地改变所传递波的相位。我们假定，一个附加的相位移σΦ可由强度的涨落引起。在光经历一个循环再返回介质之前，利用外部入射光对之干涉，则σΦ可产生一个显著的振幅改变量σE。并且在光下一次通过介质时，σE可引起一个比σΦ大的相变。因而该系统是不稳定的，它将走向混沌。K · 伊凯达（Ikeda）对这种不稳定形式曾做过理论描述。另外，在组合光学（hybrid-optischen）及纯脉冲光学实验中，它也被讨论过。
3、混沌自旋进动
与前述情况相反，本例中谐振循环时间与介质弛豫时间相比，小得可以忽略不计。此时，若介质适宜，也能产生混沌。一种简单情形是外部静磁场中全部具有J=1/2→J'=1/2跃迁的自由电子。实验中，人们在阻尼气体 - 大气里使用钠蒸汽，这种方法在要求较高的近似范围内颇为有效。
我们先分析环形极化光场对原子的作用。通过泵浦作用，以能级1为代价的能级2处在强于热平衡的状态。此时与自旋取向相当的壳层电子数差异增大，直至它被其基态亚层间的弛豫过程所补偿，而外部静磁场则引起自旋取向的、表明所传递光强产生的振荡的进动。同时，由于谐振器中有介质，光强会反作用于原子，故进动被光学反馈衰减并结束自激。
对进动的形式化处理表明，自旋进动的转动能量首先来自磁场，此外还有光场。这属于与强度有关的能级变化，即著名的“光移动”（Licht-Verschiebung），它可影响有效磁场。总磁场（真实的+有效的）随强度改变而改变，其空间方向及总值不再是恒量，并导致进动失稳：当光强足够高时，自旋最终将陷入“脱离同步”（aus dem Tritt）状态而呈现混沌。进一步的研究，仍须借助计算机。
空腔谐振腔中的混沌
空腔谐振器的光学稳定性，两年前已为实验所证明，该系统的反射镜悬置可动，并能为谐振器中的光压所推动，从而改变谐振条件及随之产生的强度。这种反馈作用是典型的双光学机制，其干扰形式为：产生振荡的反射镜悬挂装置，在其机械固有共振处倾斜。
另外一种获得双稳定的装置甚至其反射镜也是固定安装的，有关文献对此做过说明：反射镜受光照射之处，由于吸收损耗而发热、反射镜材料膨胀，表现出微小“凸点”并有效地改变反射镜间隔。该系统反作用于光强的方式，完全与上面一种相同。
实际上，可动式反射镜谐振器在光强较高时可产生双效应，并且两者相互竞争，只不过其出现并不同样明显。这在模拟推论中很容易看出。有关文献描述了这种具有可动悬置反射镜及压电转换器的谐振器的性能。通过转换器，光压感应反射镜变化可由强度测量及其变化所代替，同时热效应也可由一个附加的时间常数代替。这套装置在实际使用中同样可产生混沌。
上述发现对有计划地探测重力波影响甚大；带有易动悬置反射镜的特大迈克尔逊干涉仪可在较高光强条件下运行。不过，在考虑欠周的设计中，这种仪器会出现令人讨厌的不稳定。
结 语
近年来不断出现的研究清楚地表明动力系统的混沌所反映的绝不只是罕见的特殊情形。恰恰相反，混沌现象频频不断。本文所择例证说明，量子光学中普遍存在着混沌，许多有趣的情况我们还未谈到。
本文没有探讨如何清楚地预言混沌出现的一般方法。因为，引起失稳的物理机制多种多样，混沌常常被看作是不受欢迎的意外之事。其实这真是鼠目寸光，人们本该广泛地研究混沌，以避免那种把作为动力学特性的混沌，完全等同于自然界所预示的诸如周期振荡之类形式_法。混沌现象本身很有趣，而对混沌的新认识，也许宣告了人类从整体上把握自然界的美好前景。
［Naturwissenschaften，78，97~192（1991）］