眼下我们学校里所讲授的“现代数学”的大部分内容，按最保守的估计也存在一个多世纪了。而我们中学课程中一系列新概念，往往是在缺乏对它们与传统概念间的联系作任何讨论的情况下突然引进的。这样容易使人们对“现代数学”产生误解。

一、抽象性和普遍性

现代数学一个最鲜明的特点是：倾向于越来越高度的抽象。现代数学的每一举足轻重的概念，都不只包含一个而包含多个各不相同的对象。而这些对象间又有某种共性。由共性导出的抽象理论又反过来应用于具体对象。

例如，“群”的概念既关系到空间的刚体运动，也关系到几何图形的对称性，还关系到整数集合的可加结构，以及拓扑空间的弯曲变形。在上面列举的各种情况下，所给的两个对象形成一种组合的可能性，就是它们的共性，这种共性是由于对象有同一属性所赋予的。由两个顺次完成的刚体运动可重新得到一个刚体运动；两个整数的和仍为一个整数；两条相交于一端的曲线可形成一条新曲线。

抽象性和综合性是并驾齐驱的，综合的主要优点是能节省精力。比如，当一个数学定理能在与对象的具体类型无关的一般条件下一次加以证明，而你硬要在四种不同情况下分别加以证明，就显得荒璆了。

现代数学的第二个固有特点是：它广泛地利用了“集合论”的语言。实际上，这只是把完整的意思用数学符号表达出来而已。人们对数学，尤其是对变得更加具有普遍性的数学，与其说是对具体对象感兴趣，倒不如说是对它们的总体感兴趣。像5=4+1这类问题已经是不怎么重要了，而您瞧，像4n+1型的任何质数都是两数的平方和——这就比5=4+1的内涵丰富得多。上述论断涉及到质数的整个集合，而不是某个个别的质数。

集合也就是总体。由于心理学的缘故，我们总是对“集合”这个词用得多一些，以免与“总体”这个词产生不必要的混同。集合能以种种不同的方式组成，且能由此得到另外的一些集合。如同对数进行不同的运算（加法，减法，乘法，……）可以得到另外的数一样。算术运算的普遍原理叫代数；由此类推，我们也可以得出集合的代数学。

相对具体数字来说，集合有着显著的优点，特别是从学习的观点来看更是如此。集合能显示更广泛的具体事物。我们说，不可能向一个孩子出示某个数（“我手里握了一个数字‘3’”）。然而，却可以对他出示确定数目的某些东西：三颗糖果，三个皮球等。按其实质，也就是糖果的集合，皮球的集合。尽管数学中所分析的集合往往不是具体的物件，而通常是数或函数的集合，然而，集合论的基本运算却能在具体的材料中演示出来。

在数学中，集合的理论比算术起着更为重要的作用，尽管它有些基本原则并不总是研究数学的最好出发点，但是，要理解现代数学而又不懂集合论，你将难于对付。也许，我本人错误地过高估计了集合论的作用：这理论充其量只是一种方便的语言，如果你完全掌握了它，而对数学中别的东西全然不懂，你未必能得到什么好处。反之，如果你懂得“许多数学”，而对集合论完全陌生，您或许还是能取得巨大的学习成果。但是，如果您能再懂得一些集合论，那么您将能更好地理解数学的语言。

二、直觉和形式主义

探求更大程度普遍性这种趋势总伴有一种不断增长的要求：即对逻辑上的严格性这一要求。目前，人们都批评欧几里得几何公理体系中缺少一条命题：即任何过三角形内部一点的直线必然和三角形相交于某处。至于欧拉关于“函数”的定义：“一条随手画出的曲线”就更破坏了数学的整个奥妙，有害之处就在于那种不确定性（这“曲线”是一条什么样的曲线呢？）。但是，一味追求逻辑上的无懈可击，也容易搞过头，即用一大批的逻辑符号以及盲目地运用千篇一律的方式来代替书面的论证。在这种思想指导下可能会走得很远，结果弄得不是加深对概念的理解，而是适得其反。

这里，我们要求的是更大程度的严格性，而不是奇思妙想。事物越是复杂，广博，开辟对它的批判途径也就越显得重要。一个试图了解大量统计材料的社会学家，他不得不摒弃这样一些材料：由不可靠的试验得出的材料或者是可疑的结论。在数学里也有相同的情况。看来是显然的东西往往是不可靠的。这已经是司空见惯的事了。数学上就存在没有面积的几何图形。按照巴拿赫和达尔斯基的理论，我们可以将一个圆分割成五部分，由这五部分又能构成两个和原来的圆一样大小的圆。从求面积的观点看这是不可能的，但问题在于这些圆并没有面积。

逻辑上的严格性给予在危险情况下的非常宝贵的抑制性影响。精确性也是如此。数学上存在这么一些定理，其正确性为大多数数学家所确信，不过，至今这些数学家们谁也没有论证这些定理，于是，它们也就成了没有论据的假设，对它们也只能当作假设来用。

在对于任何的不可能性予以证明时，必须特别注意其严格性。用一种方式不可能做成的事，往往能用另一种方式来完成。因此，这类证明的每一个步骤都要求极大的精确性。人们对五次方程的求根公式不可解性和以圆规、直尺三等分角的不可能性都作了证明，如今，这已成了重要的数学定理，因为它们阻塞了作无益探索的道路。

对数学来说，证明不可能性是极有代表性意义的。须知，这大概是完全认清自己局限性的唯一东西。有时这倒变成了一种不可解释的现象：人们花在证明某理论的不可能性上的精力要比花在寻求建立这一理论的精力更多一些；如果自我认识是一种美德的话，那么，数学家们则能结成一个神圣的部族。

但是，逻辑还不是一切。任何公式本身都永远不会给我们暗示任何东西，逻辑可用以解决问题，但它却不能暗示我们什么样的问题才值得去解决。还没有任何人能将“值得”用适当的话表达出来，为了搞清“值得”还是“不值得”，要求有经验，且还要一种难以鉴定的、叫做直觉的智力品质。

我说不清自己对“直觉”是怎么理解的。这就是真正的数学家赖以生存的东西（还有物理学家、工程师、诗人）。“直觉”让数学家“触摸”到自己的研究对象，使之能在还不知道其形式上的证明之前就看出定理的正确性，尔后才想法子来证明它。

实际上，每个人都在某种程度上掌握了数学直觉：一个正在搭积木拼图的小孩就具有这种直觉，当合家大小乘小汽车去休假时，任何一个能将行李在小汽车的尾舱里安放得很妥帖的人都有这种直觉。数学家的训练的主要目的本应当是将其数学直觉磨砺到这种程度，即能将直觉变成研究工作中运用自如的武器。

许多笔墨都花费在严格性比直观性优越，或者直观性比严格性优越这类的争论上。这两种极端看法都不得要领：数学的全部力量就在于将直觉（或说直观性）和严格性巧妙地结合在一起。受控制的精神和富有灵感的逻辑！我们都知道，有些有卓越才能的人，可他们的思想却永远不体现在一种具体结果中；而另外一些人丝不苟，仔仔细细，然而他们始终并未创造出任何有价值的东西来，因为他们太拘泥于条条框框了，应当避免这两个极端。

三、关于图形

学数学，心理观点往往比逻辑观点还重要。我曾有机会去大学听过数学课，讲授者推理严密，极富有逻辑，可听讲者却稀里糊涂，毫无所获。我认为应以直观想象开道，然后再加以形式上的证明。直观上的判断能让我们搞清某个定理为什么是可信的；然后借助若干可靠的逻辑上的论据，我们就能坚信：这个定理果真是正确的。

最后我将竭力强调数学的直观性方面，我给予读者的，首先不是严格的证明，而是以这种证明为基础的思想观念。好的教科书本应既有直观想象，又有严格证明，所憾的是，符合这种标准的教科书为数不多。

一些数学家，大约有10%左右吧、用公式进行思考，他们的直觉就是如此。然而，90%的数学家用图形进行思考：他们的直觉是几何性的。图形比词语所携带的信息多得多。多年来，中小学生不再利用图形进行数学学习了，因为“图形不严格”。这是一种可悲的误解。不错，图形不严格，然而，图形能帮助思考，而这种助益是任何时候都不能藐视的。

四、为什么？

研究数学的原因有许多，未必有哪位读者会要求立刻给他证明数学存在的合理性，否则，他就学不下去。数学是美妙的，能激励智力，以至于是有实用价值的。

我打算分析的大多数问题都是纯数学问题。纯数学研究的目的并非为了实际的应用，而是给人一种智力上的享受。这令人联想起优美的艺术：比方说、就很少有人要求从一幅写生画里得到什么实际利益（然而，数学和艺术的分别在于数学有普遍公认的标准）。可是，您瞧，妙也就妙在这里：纯数学几乎违拗了自身的“意志”而变得有用了！让我们来看一个事例吧。

在十八世纪初，数学家们花费了许多气力去研究“波动方程”——描述弦的振动和液体中波的传播的偏微分方程。尽管该问题产生于物理学，但是，这是个纯粹的数学问题——对波的实际应用谁也没有去想过。1864年麦克斯韦提出了描绘电现象的方程组，后来，他又将这些方程组作了简单的变形，从而得出了众所周知的波动方程。根据这一事实麦克斯韦预言了电磁波的存在。1888年，赫芝在自己的实验室里接收到了无线电波，从而在实验上证实了麦克斯韦的预言。终于在1896年，第一架无线电发报机诞生了。

这个事件的过程是极有代表性的：科学史上往往正是通过这么一种途径，纯数学才变得有实际的用处了。一切都肇源于数学家为寻求智力上的乐趣而去求解数学难题；接踵而来的是理论家，他们应用数学家的研究成果，但对这种理论他们根本不去作任何检验；然后，实验科学家又取代了理论家，他们用实验来验证理论，而对这种理论的实际应用他们则弃之不顾；最后，实干家登场了，他应用纯数学的成果搞出商品，奉献给贪婪的世界。

我们观察原子能的发现和制取，观察矩阵理论（它在技术和经济学领域找到了用武之地）和积分方程理论的发现，可以看出那样的一系列的事件间的连锁关系。

我们再来看看时间间隔：从发现波动方程到发明无线电发报机花了一百五十年；从微分几何的发现到第一颗原子弹的研究成功花了一百年；从矩阵的首次出现（在格林的著作中）到经济学家实际应用矩阵理论花了一百年；从柯朗和盖尔伯特将积分方程变成一种有效的数学工具到积分方程在量子理论中派上用场前后历时三十年，而这还是发生在量子理论投入实际应用之前的许多年。其间，哪一位数学家也不会梦想到：他所研究的东西能在一百年以至更长的时间之后派上实际用场啊！

这是否意味着我们应当乐于去研究任何数学疑难问题，即使是眼下没有丝毫用场的难题，因为谁能否定这种可能性——即这些数学问题正是公元2075年的物理学家所需要的呢？

波动方程也好，微分几何也好，或者是矩阵和积分方程也好，在它们刚问世的时候，它们的重要性并没得到承认。数学是这么一门学问：它的各个分支之间彼此紧密相连，一些分支的发展必定会触动到另外一些分支。由此，我们可将数学比作人的机体，它有自己主要的和次要的“器官”，只有那些能触及“机体”的主要部分的东西才被承认为重要的。甚至一些全新的方法，也证明了自己在“主方向”问题上的重要性。几乎所有在实际中派上了用场的数学，都是因为他们关系到了“机体”的主要部分。

这么着，数学的直觉有何可嘉许的地方呢？或者只不过是它从来没有发展到那种可派上实际用场，带来实际利益的地步，因而也就一直没能够被人们承认其重要性吧？对此，我不得而知。然而，毋容置疑的是：数学家们一致认定为平淡的、非本质的数学理论永远不能显示其实际用途。广义左伪群理论就尚未掌握打开未来的钥匙。

而某些极为精巧和重要的数学结果没有实际用途只是因为现实世界作了另外一番安排。

[《现代数学概念》]

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本文译自《现代数学概念》一书，该书以深入浅出的语言介绍了现代数学的目的、方法及其应用。——译者