我们的介绍分成两部分，第一部分给出数学在其他学科中无所不在的影响的一些例子，第二部分列举了理论数学最新有意义的进展。其间将穿插一些我们对今后可能性的想法。

数学的影响和应用

今天在技术上最常用到数学研究领域是数值分析和数学模型。例如，在工业设计领域中，对一个已知过程的描述和理解必须按数学方法进行，数学描述细节和整个设计过程相互影响和渗透，分析和设计从数学上来说相互依赖。例如，省油且振动小的超音速机翼的设计已用在波音767上，要不是Garabedian，Cole和Jameson在数学上的工作，这一设计是不可能的，我们可以推测，当前正在进行将人体循环系统的数学模型化的研究课题最终将对医学发生重大影响，其中包括在不可能直接测量心脏本身的情况下用间接方法测量心脏的可能性。计算机辅助设计已采用左心脏的数学模型来设计人工心脏瓣。

能进行有效压缩和涡轮叶片的数学设计今天已成为现实，而高效燃烧室的设计今天已是热门的研究课题。

在国防上，由于计算机的发展和数学算法的重大改进，用数值模型来代替实验既改进了设计的质量又大大节省了所需费用。这一点对和武器有关的研究和开发具有特别重大的意义，在这种研究开发工作中，实验的费用巨大，实验本身危险，而且在开发工作的初期往往不可能进行具体的实验。

在经济学上，数学正在发挥越来越大作用，最近在数学经济学上所获得三个诺贝尔奖可以证实这一点。

在石油勘探上，用来将主讯号和多重反射讯号区分开来的方法从本质上来说是数学上的成果，现代逆扩散理论正在成为这一领域上的一个基本工具。数学模型对石油第二次充分回收的研究十分重要。

在电子工程上，已证明Weiner的数学工作对若干领域来说是基本的，数学控制理论正在发挥重要作用。

在医学上，诊断技术的重大进展（层面X线照相术，CAT扫描器和NMR）和数学研究紧密相关，后者用到了奇异积分、复函理论和希尔伯脱空间。统计和统计方法在流行病学、药物检测和许多其他领域是必不可少的。数学模型是发展新药物的重要工具。我们还可以从生物学、化学、神经学和其他学科中举出更多的例子来。

最近有许多例子可以说明，由于受学科本身内在动力的作用，与实际问题毫无关系的数学研究对其他领域具有重大意义，物理学中规范场理论的发展就是这方面的一个杰出例子。诺贝尔奖获得者杨振宁写道，“规范场就是纤维束上的联系，数学家在不了解物理世界的情况下已认识到这一点，我觉得很惊讶”。代数几何得到了Yang-Mills方程的所有自偶解。另一方面，正如我们以后会看到的，物理理论也导致了拓扑学上的一些重要结果。

统计力学中引入了抽象概率，材料科学中的Gibbs状态的概念，以及湍流研究中引入动态系统和遍历理论都是物理学中引入数学的例子。所有这些现象都说明抽象数学和应用数学正在相互靠近，它们之间相互作用富有成果。

随着计算机的兴起，计算理论已成为数学研究的一个领域，由于牢固建立在现代数学发展主流中各领域和方法的基础上（诸如，概率论，组合理论，代数几何，数论），它已为当今计算机科学家创建了许多重要工具，在这一新领域的主要研究课题是算法和程序设计。

有效的算法有着重要的实际意义。快速富里埃变换及其在信息处理上的应用、以及最近研究出的数论和有限域中随机算法及其在纠错码和密码学中的应用都是其中杰出的例子。

编码和密码学的发展向我们提供了纯粹数学应用于应用领域的令人注目的例子，这种应用是前所未料的，1948年A. Weil在数论中理论性工作已于前几年用于编码理论，去年一些苏联数学家揭示了如何把Deligne，Rapoport，lhara和Langlands的最近工作应用于代数几何的最抽象领域以及如何用来设计迄今为止认为是不可能办到的、理论上高效的纠错码。

在机器人这一领域中，自动工业过程依赖于是否能成功地将所涉及过程数学化或模型化。在许多工业领域中，发展还刚刚处于幼稚阶段，一些最简单的任务看来最不易自动化，设计一个带有感受器的机器人手，使它能避开障碍而又能捡起一目标物体，要做到这一点特别困难，而这种能力正是人类最普通能力之一。这个问题的参数可以解释成代数几何中问题，这个问题的进展会对其他实际问题的解决发生影响。

现在已提出了许多关于大规模科学计算的创议，其中将有一定规模的数学研究课题，这些研究课题将在应用数学得到重大的应用。在纯数学中，使人惊讶的是，Thurston（本年度数学最高奖获得者之一）把计算机作为它三维拓扑的实验工具，而前几年著名四色问题的解决从本质上来说仅仅将计算机用于证明。

计算机技术和软件的最新发展正在对受统计分析检验的工作性质、分析的方法和统计的理论问题发生深刻影响。计算机和空间技术向我们提供了常规传统方法不再适用的高维多变量数据，这是由于原先方法所得以成立的规范特性和线性特性的假设已不再满足。在这些假定下成立的方法会导致严重错误。现在正在研究模式识别和强回归的新方法，使人们能理解这些数据的图像表示的新方法也正在研究之中。Friedman和Tukey的交互式动态显示器就是一个例子。

带有确当判断内容的新的交互式统计程序包可以使一般用户用来观察以前只有受过专门训练的有一定能力的统计专门人员才能理解的现象。

统计学促进了计算机科学，模拟和实验性设计方法已被用来设计结构良好的硬件和软件。

理论数学的进展

“理论数学”指的是那些由学科本身内在动力而不是由其他学科需要所引起的研究项目。使人感到意外的是，这些看来似乎毫无关系的研究常常对实际起着重要影响。例如，数理逻辑的最抽象工作——递归函数和图灵机对冯 · 纽曼（Von Neumann）的存贮程序计算机的引入打下了哲理性的基础，这种计算机可以对机器的指令进行运算和修改。在二十年代和三十年代谁会预料到这一点？这种发展最终导致了一个数十兆亿美元的工业。

最近几年的进展是惊人的，下面列举几个引人注目的例子：

Deligne的工作，证明了数论中最著名的Weil猜测。

经过20年的努力，对有限单群进行了分类。

Yau在Calabi猜想上的工作，及其在代数几何上的重要应用。

Thurston的工作，揭示了如何用几何上的方法（大多数是非欧几里得）来解决三维拓扑学中问题。

Khachian在线性规划的多项式算法上工作。

孤立子和特殊吸引子的发现。

Connes在算子代数上的工作。

下面我们不再继续举最近几年进展的例子，而是将最近一些重要例子扼要说明一下，先以与物理学相互作用下纯粹数学惊人的进展作为开始。

· 物理学家引入了四维（空间一时间）的规范理论作为场理论的统一原则。在这一方面，Yang-Mills运动方程的研究使S. Donaldson对某些四维空间作了出色的描述，稍早一些时候，M. Freedman用纯粹的拓扑方法建立了四维流形上的一个有力而又完整的理论。Donaldson和Freedman的这些成果合起来产生了四维空间拓扑上的下述结果。在所有其他维中，在欧氏空间进行运算本质上只有一种模式（Rⁿ在n≠4时有唯一微分结构），但对四维来说情况就完全不同（在R⁴至少存在二种不同的结构）。四维和其他维之间这种质的差异是拓扑学上一个令人惊奇的进展，它可能反映了某些有深刻含义的物理原理。

· Felix Klein在1872年Erlanger纲领中详细说明了的群对称性在几何学中的核心作用导致了整整一个世纪的发展，而用李群的无限维表示来开辟数论发展的Langlands纲领看来是Erlanger纲领之后又一值得称道的纲领。

R. P. Langlands猜想次数为n的可能存在的数域从本质上受GL（n）的不可约的无限维表示的约束。这一猜想提出了一些挑逗性的问题。这些问题的解决将使我们对表示论、数论和代数几何有更深刻的理解。在这一方面，已经得到了一些令人印象深刻的进展，但还有许多问题有待我们去解决。

和Langlands纲领紧密相关的是有限空间的可算点和计算连续空间的拓扑不变量之间的神秘联系。Weil猜想首先提出了这一联系。Goreski-Macpherson-Deligne的同调理论使揭示这一联系的工作进了一步。这些进展整个着眼点使下一代数学家将至今为止分散的数学领域统一起来。预期的统一将是件令人生畏的工作。

· 在分析上，Cauchy积分的规范性（对Lipschitz曲线）这一老问题已由Calderon，McIntosh，Colifman和Meyer解决。这一问题解决的关键是70年代所发展起来的Hardy空间技术以及处理带有“粗糙”系数的奇异积分的最新解法。这些思想很可能适用于偏微分方程中一大批问题，这一点在解决Kato猜想的最近进展和带有最小平滑假定的抛物线方程的解所起作用中可以看出来。

[Report of the research briefing panel on Mathematics]