这个躺在床上的婴儿宝宝只有一天大，还没有离开过医院，似乎很专注地盯着离她小脸20厘米处的一张上面有两个黑点的白色卡片。不一会儿，一名研究人员换了另一张也有两个黑点的卡片，只不过黑点间的距离和刚才的不一样。随着这两张卡片的交替出现，她开始不专心了――直到有三个黑点的第三张卡片的出现，她又开始凝视了：她注视第三张卡片的时间是前一张卡片的两倍。一个来到这个世界仅仅24小时的婴儿，能分辨数字2和3的不同吗？

 

　　或许新生儿只是简单地喜欢较多的？但是，当进行先出示三个黑点、然后再换上两个黑点的卡片的实验时，新生儿同样表现出专注的恢复。也许这是新生儿感到新奇的表现？当向稍微大一点的婴儿展示一些家庭用品的图片而不是黑点卡片时(如一把梳子，一把钥匙，一个橙子等等)，改变物品的数目和改变物品本身得到了不同的结果。与展示三件物品相比，展示两件物品得到的结果有可能和新生儿相同吗？结果没有重复出来。

 

　　当这些卡片的数目从两个变成三个时，婴儿们较多注意的是这些长方形(卡片是长方形的)在屏幕上的移动，反过来也是如此(即卡片数目从三个变成两个)。当反复看到两个黑点的婴儿听见三声鼓声时，要比听见两声鼓声时更加有精神；同样地，当研究人员用鼓声开始，再移动黑点时，婴儿的表现也是如此。

 

　　19世纪心理学家威廉·詹姆斯(William James)认为，当世界第一次出现在新生儿面前时，他描述为“一次伟大的开花，喧闹混乱”。但是以上的这些实验，以及在过去几十年里进行的许多类似的其他实验，让研究人员确信与詹姆斯所说的正好相反。婴儿生来具有很多理解他们所见所闻的途径或方式，即用他们对新鲜事物的喜爱来弄清楚他们大脑里正在发生的事情――当反复展示同样的东西时，他们的眼神不再专注；当场景变化时，他们又开始专注。对婴儿来说，构成他们对周围世界值得注意的变化，就是看得见的。

 

　　理解这个世界的诸多方式中有一个就是数字。人生来就有一种先天的感觉，即能感觉出聚集在一起的物件中有多少个。曾做过这样的实验：向年龄较大的儿童和成人展示随机安排的圆点，请他们快速说出有多少个。结果表明，这种先天的感觉终生保持着。在有限的范围内，可以说人类是天生的算术家。在几个月大的婴儿面前展示玩具娃娃，当把玩具娃娃放在窗帘后和从窗帘后拿走时，他们对窗帘拉开时将看到的数量有正确的期望值。而当那些期望值受到大人们的故意干扰时，他们感到很惊奇。实际上，当婴儿们看到玩具娃娃的数量与期望值不符时，表现出的惊奇比二者相符时更大。

 

　　一些动物似乎也能察觉和理解小的数字。20世纪30年代，德国动物学家奥托·克勒(Otto K－hler)训练乌鸦打开盒子，当盒盖上的圆点与训练辨别的数字相同时，乌鸦就打开盒子(乌鸦学会了辨别2、3、4、5和6个圆点)。老鼠能学会在选择进入迷宫中哪一个门之前，并不理会门的数量。黑猩猩已学会了把数字1到6跟显示器上的物体的数目匹配，并能发现分别藏在两个不同地方的桔子及表明它们总数。

 

　　更惊人的是，一些野生动物没有经过训练似乎也能理解和使用数字。英国萨塞克斯大学的卡伦·麦库姆(Karen McComb)录制了非洲塞伦盖蒂国家公园(Serengeti National Park)多种狮子的夜晚吼声――不同数量的狮子；狮子依次吼叫的声音和相互重叠的吼声等等。对她观察到的现象最好的解释是，狮子能从不同的吼声中估计到入侵者的数量，在与自己的数量进行对比后，然后决定攻击或是逃走。

 

　　人类(或许还有其他动物)对数字敏感的事实，与流行的两个竞争的理论相矛盾：柏拉图主义和建构主义。柏拉图认为，数字(几何模型如圆周)存在于一些抽象的、永恒的和完美的领域，凡人仅被给予了偶然的一瞥；而建构主义者遵循着瑞士儿童心理学家让·皮亚杰(Jean Piaget)的理论，认为人们通过在现实世界中移动物体和观察结果，在生命的最初几年里“建构”了对数字的理解。这些理论尽管抽象，但二者间的区别也有实用价值，即“数学恐惧”可能是天生的，而不是后天形成的？它能被治愈吗？数学能被更好地教给所有人吗？

 

　　伦敦大学学院的认知神经科学家布赖恩·巴特沃思(Brian Butterworth)花费了他职业生涯的很多时间，试图搞清楚人类对数字的理解力哪部分是天生的，哪些是后天学习获得的以及如何获得的。他认为，人生来就有专注于认出和理解小部分物体的数量的“脑回路”(brain circuit)。在“脑回路”的基础上，随着意识到越来越大的数可以通过增加“又一个”来达到，以及体验这些较大的数是如何表现的学习过程，一个完整的“数觉”(number sense)被建立起来。

 

　　巴特沃思最近的工作已经证实，要开发比新生儿更好的数字理解力，没有必要要求用数字来计数。他与一些澳大利亚研究人员合作，检验了澳北区(Northern Territory)土著儿童的数字理解力。这些儿童仅懂一种语言，即“瓦尔比里语”或“阿宁地拉克瓦语”中的一种。在这两种语言中，表示数字的词仅仅是一、二、很少和许多(一般认为，表示数字的词是在人们种植农作物或饲养牲畜时出现的。狩猎采集阶段的营居群体，没有牲畜或其他的财富储存，不需要记录剩余物或贸易平衡)。

 

　　由于参加测试的儿童年龄较大，不适合再做婴儿凝视的小把戏，但他们也无法回答“这是多少个”的问题？于是研究人员用了一些计数器，把它们放在合适的地方，请参加测试的儿童“照着我做”。为了检验他们使用计数器而不是模仿，研究人员一起重击操作杆，请儿童们也“重击发出噪声的计数器，”这些儿童居然表现得和居住在墨尔本的说英语的土著儿童一样好。

 

　　在历史上，常用的一种计数方法是用身体的某些部分来累积总数的。如现代算术中使用的十进制是由手指发起的，一些语言的遗迹保留在“五”(five)、“手指”(finger)和“拳头”(fist)这些词的相似性中，以及“digit”这个词的双重意义中(digit有“数字”、“指头”之意――译者注)。一些人认为，欧洲最初的居民是用20进行计算的，这正好是手指和脚趾加起来的数目――“score”这个单词至今还用来表示“20”和计数，可能是历史的遗迹。甚至现在还保留着这样的部落民族，它们仍有使用眼睛、鼻孔、手肘等来计数的详尽方法。

 

　　4000年前，古巴比伦人曾用基数60来做一些相当高级的数学题。从算术上讲，用于计数的12，24，60为基数的进制仍有其吸引力(它们比十进制有更多的影响因素)，但手指用于计数的优势是特别明显的。在一项最近的研究中，巴特沃思博士和墨尔本大学的罗伯特·里维(Robert Reeve)观察到，(讲英语的)大部分五岁和六岁的孩子用手指数数和做简单的算术题，约四分之一的孩子不用。在这些不用手指的孩子中，一半稍多的都是算术很好的，大概他们已长大不再需要用手指了，或似乎没有意识到他们的手指也能够帮忙。

 

　　80多年前，奥地利神经学家约瑟夫·格斯特曼(Josef Gerstmann)描述了一组问题，这些问题似乎同时出现在大脑左顶叶(left parietal lobe)遭受损伤的人身上：他们书写困难或无法书写，不能理解算术或分不清左右。这些症状是否构成了一个综合征？现在仍没有达成一致。但是，用来存储关于数字和用来代表手指的这部分大脑，是彼此接近的。因此，数字和手指的心理表征在机能上可能是连接在一起的。

 

　　如果数字是被一些史前的天才发明的，那么学会如何使用数字将是一件需要智慧和实践的事。但是，对大部分人来说这是自然的东西，只在极少数人中是缺乏的。就像一些人天生是色盲，或者在脑损伤后失去了色觉；而有些人则是“数盲”(number－blind)，一种不能理解其他人毫不费力明白的东西。

 

　　巴特沃思讲了查尔斯(Charles)――一个有终生数学困难的小伙子――的故事。只有当用手指的时候，他才能将两个一位数相加；涉及到二位数、乘法或减法他就不会做了。购物时，他既不理解价格也不明白找零。测试表明，他对数学有病态性的恐惧。尽管很严重，但查尔斯的缺陷似乎只影响他的计数能力。

 

　　在一次简单测试中，给查尔斯展示了两个数字，请他指出其中的哪一个大。当出示9和2和9和7时，其他人能很快地指出。但是对查尔斯来说，情况正好相反――他不是直接告诉答案，而是从一个数(用手指数)数到另一个数，这就意味着他一定从小数开始。更惊人的是，他缺乏大多数新生儿拥有的基本计数能力：新生儿仅仅通过看，就能分辨出一小堆物件中物体的数量。当查尔斯被问到一张纸上有多少圆点时，他仍要通过数手指解决――甚至当只有两个圆点时。

 

　　在脑损伤的病例中，数字的缺陷(其他能力正常)可能更加引人注目。神经生理学家丽莎·斯波罗蒂(Lisa Cipolotti)研究了加蒂(Gaddi)夫人的情况，加蒂夫人过去经营着一家旅馆维持生计。中风后，她只有通过数数才能知道物体的数量――当被问到十字架上的耶稣有几条手臂时，她让斯波罗蒂博士伸出手臂，以便能数数。但加蒂夫人的问题似乎只影响了记数能力，她仍能阅读、说话、推理，甚至能回忆起一些历史事件。

 

　　实际上，加蒂夫人的问题比查尔斯还要严重。中风不仅损害了她对简单数字的理解力，也彻底摧毁了以前她那敏捷的数字“大厦”。对加蒂夫人而言，数字在4便停止了。当被问到从1开始能数到几时，她只能数到4就无法继续了。如果一张纸上有4个以上的圆点，她就不能数出它们，也不能说出一星期有几天，甚至无法告诉你现在几点。

 

　　从程控芭比娃娃(Barbie dolls)说出“数学课是很难的”，到国务大臣剖析一段句子但拒绝回答“四分之三的一半是多少”，看来数学恐惧症到处存在。一个原因就是数学建立在其自身之上，错失一步将招致步步出错。实际上，算术题并不在于对和错的答案上，而是要让不同年龄段的孩子明白各自应该知道的东西。然而在一些“数觉”(number sense)受损的人中，面临比恐惧和厌恶更严重的问题是计算障碍(dyscalculia)。在古巴首都哈瓦那，对一个具有代表性的儿童群体所做的数字测试表明，存在计算障碍的比例是3～6％。针对这部分数觉受损的人，研究人员已经着手开始进行“唤醒”的课题。

 

　　怀疑论者也许觉得，计算障碍是过分强调孩子学习而导致的一种学习障碍――对中产阶级的父母来说，这又是一个将孩子分为不同年龄段学习的机会。就像阅读障碍一样，或许也不是这样，阅读障碍(dyslexia)表现在阅读过程中的一种高度不自然的活动。相比之下，计算障碍最好的预示方法是在一张纸上数点时的异常缓慢，而这对大多数人来说不费吹灰之力。

 

　　伦敦大学学院的研究人员开发了一种针对计算障碍的诊断方法，并认为这种方法应被用于早期儿童的检测。幸运的是，该诊断方法将同时促进了治疗手段的开发。在开始学习之前，即使存在计算障碍的儿童没有完全发展出“数觉”，他们的数学生涯也不会就此结束。在数学领域中，还有其他一些分支对他们的学习而言并不困难，如逻辑学和几何学。

 

　　巴特沃思回忆起一位著名的几何学者(“我不能说出他的名字，那样做会使他尴尬”)，有一次在他做了一场报告后，这位学者拦住他说：“你知道，我一直非常害怕算术。于是巴特沃思问：“七乘八是多少？”他只是含糊地说：“哦，那是不重要的。对，那有个算法。”然后就走开了。

 

　　数学包含了数觉、模式、几何与测量等