美国数学协会编撰并出版了《数学的研究动态》，其中第25卷为《数学经济学的研究动态》，由斯坦利 · 罗俨特（Stanley Bolter）主编。美国印度安纳大学经济系的罗伯特 · 贝克尔根据该卷的内容综述成本文。
1. 引言 经济学思考着的一个核心问题是如何分配紧缺的资源，使它在既充满相互竞争、要求又无法满足的情况下能够达到目的。如何运用数学的工具来分析“什么是最佳方案”的问题，是经济学理论的一个焦点。经济学家们一直应用数学上各种各样的技巧来探讨这个十分重要的问题。技术一直在不断更新，使理论可以得到发展，新发现的数学方法又可以得到应用。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在用数学方式来表达经济理论方面都起了重要的作用。
在早期发展起来的有关消费者和生产者行为的理论中，古典的拉格朗日乘数技巧曾在局部最优化的检验中居支配的地位。这项工作可以追溯到30年代和40年代。在这段时期中，希克斯（Hicks）和塞缪尔逊（Samuelson）利用微积分学一方面来探讨平衡的稳定性，另一方面对被称为比较静力学的灵敏度进行分析，因而将沃尔拉斯（Walras）—般平衡结构的领域向前推进一步。平衡理论的这两个方面奠定了沃尔拉斯平衡理论中可以预言的组成部分的基础。
凸分析方法第一次出现在冯 · 诺伊曼（Vou Neumann）于1928年始创的对策论中，而平衡组态的存在性则于1938年在一个扩充的经济模型中出现。冯 · 纽曼的极小极大定理起源于这些论文，它是经济学理论对数学的重大贡献之一。
在第二次世界大战期间，由于冯 · 诺伊曼、摩根斯顿（Morgenstern）、库普曼斯（Koopmans）和丹特齐（Dantzig）等人努力的结果，数学的焦点已从微积分学转移到对策论和线性规划上面去（至于坎托罗维奇（Kan torovlch）本人对线性规划所作的贡献则要过了很长的一段时间才被承认）。在50年代数学经济学家的著作中，集合论和拓扑学的工具占据了支配的地位，从而导致了沃尔拉斯完全竞争的模型的基本性质：平衡的存在性以及按照佩尔图（Pareto）准则的平衡的福利性质。在这段时期中，经济学理论上的需要也部分地促进了非线性规划和动态规划的发展。微分方法仍然可以被用来研究平衡的唯一性、稳定性和比较静力学的性质。一个沃尔拉斯平衡的已知充分条件是特殊的。
德布勒（Debreu）于1970年在经济学中引进了微分拓扑学的技巧。他证明如何应用需求的可微性来表明“多数的”（即正则的）经济仅有有限个平衡。微积分学的这个新用途超越了30年代和40年代的方法。德布勒在50时代的研究工作产生了一定的影响，使作为一个重要工具的微积分学朝着有利于凸分析的方向转移。够讽刺的是，到了70时代德布勒又在返回到有利于微积分学的方向上起了主要的影响。
自第二次世界大战以来，经济学的理论越来越倾向于数学。经济学发现了形形式式的非线性问题，使、得有数学倾向的经济学家们既成为各式各样数学领域的使用者，又成为它们的提供者。到了今天，高层次的经济学期刊中经常可以见到论文中应用到微分拓扑学、泛函分析（包括线性的初非线性的理论）以及随机过程的地方。这样一来，在越来越专门化的时代里产生了一个如何使两个专业之间所存在交流上的鸿沟得以连接的问题。
由斯坦利 · 罗伊特主编的这卷《数学经济学的研究动态》就是这方面的一个尝试。它提供了由著名经济学理论家所撰写的一系列论文，用来阐明在经济学中数学方法所包含的范围和产生的能量。这些论文涉及对策论、沃尔拉斯平衡的存在性、唯一性及其计算方法、分散资源分配过程的性质和含义，以及“使之得到满足”而非最优化行为的概念。数学方法包括以下一些内容：用一种精密的“高等微积分学”对有限维向量空间中有定义的约束最优化问题进行调查、隐函数定理、萨德（Sard）定理、在计算非线性地图上一固定点时发展其数值算法（至于针对斯佩纳（Sperner）定理的一种组合论的研讨方法以及紧紧跟着萨德定理来探索的途径都在另外几窃中单独讨论）、强大数定律、以及马尔可夫（Markov）链在一个可数的状态空间中的理论。为了阐明各种模型、技巧和结果如何形成罗伊特一卷的主题，作者把本文其余部分的注意力集中到微分拓扑学中的应用以及对策论的结果上面。
2. 微分拓扑学和微积分学 一个“需求函数”可以定义为“价格的一个几维向量到商品的一个几维向量的映射。”它代表一位消费者在预算的约束下最优化的抉择。消费者对各种商品的需求在市场条件变化时如何作出反应，我们可以用下列方法求得其变化规律：计算出需求函数相对于价格向量的导数即可。
卡尔 · 西蒙（Carl Simon）在本卷中的论文可以代表经济学中用微积分学来探讨抉择问题的方法。文中详细地介绍了隐函数定理的作用以及确定全局最优化的准则。本箄中所举一系列的方法和例子，可以用来表明经济学的理论如何从行为公设过渡到模型的形成和分析。对研究多元高等微积分学的学者来说，它将在微积分学应用到经济学的例子方面提供一个极其丰富的来源。
总的来说，在经济运转的模型中微分学有更深一层的应用。研究沃尔拉斯一般平衡模型的一个中心问题，就是要表明存在着一个价格体系，它使所有市场上的供应与需求同时相等。这个模型最简单的实现是一个交换经济，其中只要将个别消费者在各种不同价格上的需求函数相加就可得出需求函数，而供应函数则可定义为一个常值函数，它等于这个经济在开始时可以得到的每一项利益的总和。求证一个沃尔拉斯平衡的存在性，相当于证明在那个未知的价格体系中，一个非线性方程组至少有一个非负的解。证明存在性的任务一般取决于一个固定点的论证。
紧接着的问题是确实可能解的个数。微分拓扑学在解决这个问题上起着决定性的作用。对于初始资源的每一个向量都可以定义一个经济；经济空间可以用物资空间来识别。一个经济是正则的，如果需求函数是可微的，而且在每一个平衡也备上它的雅可比行列式都有一个极大的秩。
设f为Rm的一个开子集上有定义的一个光滑映射，它可在Rn中取值。定义域中的一点是一个临界点，如果f在该点上计值的雅各比行列式有小于n的秩。一个点是正则的，如果它不是一个临界点的话。萨德定理阐明，f的临界点集合的像点具有勒贝格（Lebesgue）零测度。
德布勒的主要结果是以萨德定理为依据的。它阐明非正则的经济在经济空间中形成勒贝格零测度的一个闭集。此外，每一个正则的经济都有一个奇数的平衡。后面一个事实的证明是以马斯 · 科莱尔（Mas Collel）所写那一章中的指数定理为依据的，它也可以应用到某些生产经济中去。
指数定理与一个映射的次数有着密切的关系。一个沃尔拉斯平衡的指数是指在已知的平衡上以需求函数的推可比行列式为依据的一个矩阵的行列式的正负号。所谓由经济理论作出的一个正规化，是指需求的雅可比行列式的矩阵是退化的，因此它不能直接用到指数的计算中去。指数定理阐明，对于每一个正则经济，所有平衡上的指数之和等于(-1)n-1，其中n是物资的数字。指数定理有两个关于正则经济的推论：第一，有一个奇数的沃尔拉斯平衡；特别是，一个沃尔拉斯平衡一定存在。第二，如果在所有的平衡上指数有一个一致的正负号，则平衡价格体系仅有一个。
看来指数定理及其推论似乎可以为沃尔拉斯经济提供一个可以取得比较静力学的结果的前景。当经济的需求函数的参数变化时，隐函数定理可以相应地用来计算正则经济中平衡价格的变化。桑南斯欣（Sonnenschein）的研究工作引进了一系列结果，表示经济理论对一个交换经济中需求函数的形式只施加极少数的限制。想不再进一步作假定而诱导出静力学的结果，这一点是值得怀疑的。为了取得全面经济中需求函数更多的特征，希尔顿布兰德（Hilden-brand）所倡导的一个趋向就是对优先权或收入作出较强的假定。
正则经济的探讨方法所产生最重要的影响之一，一直是将研究人员的注意力集中到一般结果上面。例如，不考虑非正则的交换经济为不重要的例子。在大范围经济理论的基本问题所激发出来的模型中，从平衡确定性的研究就可以找到正则性的论证。赫维茨（Hurwicz）写了一篇关于疏散化的论文，从中也可以找到其他一些有关可微方法所产生影响的例子。他的论文和罗伊特的论文也都是一般拓扑学应用到经济学其他方面的很好的资料。
3. 不可靠性和信息 不可靠性是经济生活中一个重要方面。掌握有关大自然状态和经济的信息、它的性质和数量，对理解分配物资的过程起着十分重要的作用。信息和不可靠性是两个对偶的概念。描述一个代理商可以获得的信息，相当于描述这个代理商在经济领域所面临的不可靠性的程度。信息可以用各种各样的方式进入到模型中。对策论提供了一个例子。
假定明智的代理商在志趣相同的一个个体世界中追求他们的个人目标，那么他们可能获得怎样的平衡地位呢？由罗杰 · 迈尔森（Roger Meyerson）撰写的有关对策论的那一章就试图阐明数学模型能够把这个问题弄清楚的途径。一个对策的形成，取决于每一个参与者所能获得的信息的规格，也取决于计算期望实用支付时所应用的恰当概率。这个期望实用的理论奠定了参与者抉择问题中决策的理论基础。期望实用结构最重要的特征，就是参与者的支付函数在世界上各种可能状态下所指定的“概率中是线性的”。八十年代的经济学理论中最令人感兴趣的发展之一，就是马奇纳（Machina）、丘（Chew）和亚里（Yaari）三人对非加法的期望实用理论的探索工作。人们对传统的期望实用理论可以被替换这一事实发生兴趣，其起因是它预报行为的能力引起了争论。加法的期望实用模型中出现了几个自相矛盾的论点，它的根源已经追溯到独立公理上面去。这条公设利用了可产生实用函数的“加法”形式的结构。非加法的期望实用的影响，对对策论而言似乎是一个在研究上有发展前途的领域。
已知参与者的一个有限集合N={1，2，…，n}，一个非合作对策是一个并三组（N，un，S(n）），其中S(n)是Miain开放的策略的集合，un是S(n)在笛卡儿乘积上的一个实值函数，S(n)将参与者n的支付函数定义，为所有参与者所选择的策略的一个函数。任意平衡策略或对策结果的必要条件是，参与者的策略具有这样的性质：只要其他参与者维持他们的策略，那他就不能增加他的支付从而放弃他的策略。在这个意义下，对每个参与者而言，一个纳什（Nash）平衡是指一个同时选择和自我执行的策略。对策论中一个十分重要的结果，就是这个阐明一个非合作对策具有一个平衡解的条件的纳什定理。纳什平衡概念的存在性理论适用于加法的期望实用结构，它也应该适用于非加法的期望实用模型。
纳什平衡大量地存在于许多模型之中。迈尔森在他的论文中花了大量的篇幅来调查可供选择的方法，以便得出一个平衡结果。例如，在所有非合作选择的理论中，信息起着决定的作用。这一点经常将对策形式的焦点改变成一个扩大的或多阶段的形式，与原来在纳什理论中假设的对策的策略形式形成一个对比。可供选择的平衡概念取决于每一个代理商在每一个阶段上所拥有的并对之相信的一个信息集合的规格。假定在任何一个信息集合中一个参与者相信其他参与者的行动和随机事件，人们就可以提出这样一个问题：平衡的结果是否具有参与者的策略会将代理商的条件期望支付极大化这样一个性质。一条一致性法则也在信息各个状态上支配着参与者的信念。附加了这些必要条件后的结果就称为一个序贯平衡。它的确为研究人员提供了纳什平衡的一个非空集合。信息掌握了这方面进展的关键，加法的期望实用这个假设也是这个理论发展过程中一个关键性的组成部分。非加法的理论对多阶段对策的影响仍然是可以看得见的。
4. 结论 斯坦利 · 罗伊特把经济学家们应用的方法在一卷中提供了一个实例。卷中所有的论文都致力于经济学的中心问题。所处理的主题虽不是十分透彻的，但这一卷的确可以被看成从数学角度来思考经济学的一个入门。对数学教师而言，非平凡的数学分析除了应用到物理学和生物学以外，本卷也为它应用到经济学理论上敞开了一个大门。
[American Mathematical Monthly，1988年3月］