物质运动是数学概念的最丰富的泉源之一。我们可以找到一条连续线索，从伽利略的实验和开普勒的经验定律，经过牛顿、拉格朗日以及哈密顿的光学力学相似理论，贯穿至今日数学的一大主流部分。从力学发展到微分方程、以至流形、李群和测度论。振子的正规模式导致二次型和线性代数。热传导和波动导致富利叶级数和函数分析。但是在所有数学概念中潜在的最有前景的一个概念，目前仅为数学家和理论物理家们所知晓。它受到哈密顿一般力学形式的几何解释的发扬，这种深奥的几何被引述为“辛”（Symplectic）几何。

辛几何对于力学的重要性现在是明显的。我们得特别感谢苏联和美国的动力系统学会在过去三十多年的努力。现时这个运动声势日盛。莫斯科大学的阿诺德（Vladimir Arnold）最近曾写了一篇文章，可以说是关于辛数学的宣言。他引证了令人信服的证据，说一门新数学分支，辛拓扑正要开花成熟。在他的《突变理论》（Catastrophe theory）一书中，他更进一步说：“正如每只云雀必须炫耀它的冠羽，每一门数学分支必须最终显示它的辛形式。”他这样说的意思是许多数学概念有对应的相似物存在于辛几何世界中。

辛概念是因需要而发展起来的，它表示高水平的数学抽象，它的发端是在二百年前拉格朗日引进广义坐标之时。这是值得一提的事件，其中自然世界的基本性质与深奥的不直观的数学发生关系了，不是为了抽象而把它抽象化了，而是作为揭示物理现象的概念本质必要的一步：它是正在创造中的应用于二十一世纪的数学。

语词“Symplectic”是魏尔（Hermann Weyl）创造的，最初出现在他的著名论文“经典群”（The Classical Groups）中，这是关于多维几何各种基本连杆运动类型的群。对于通常的欧几里德几何，其连杆运动生成正交群。如果我们探究一个统一的观点，其他的群也需要注意。魏尔仅为辛群提供了一个很小的余地——它当时是一种有些令人费解的奇物，似乎是为某种目的存在的，但不清楚是什么目的。现在我们知道了，这个目的是动力学。

在通常的欧几里德几何中，中心概念是距离。要从代数上掌握这个距离概念，我们运用两个矢量x和y的内积（或数积）x · y。如果x=(x₁，x₂)和y=(y₁，y₂)是平面上的矢量，则x · y= x₁y₁+ x₂y₂。类似的公式在高维中也成立。欧几里德几何所有基本概念都可从内积导出。特别是，如果变换T是连杆运动，当且仅当它保持内积不变，即Tx · Ty=x · y。

内积是双线性形式——每项形如x_iy_i。代之以其他双线性形式，就创造出新型的几何。辛几何对应于形式x₁y₂+ x₂y₁，它表示由矢量x和y形成的平行四边形的面积。注意这个负号，它在辛几何领域中处处留下印记。这个辛形式规定了一种具有新型几何的平面，其中每个矢量长度为零，并与自身垂直。在任何偶数维空间都有其相似物。

这种怪诞的几何可能有实际意义吗？它们确实能：它们是经典力学的几何学。在哈密顿形式中，力学系统是由位置坐标q₁…q_n，动量坐标p₁…p_n，和由这些坐标表示的函数H描述的，函数H叫做哈密顿函数，可以被看作为总能量。牛顿运动方程采用优美的形式dq/dt=?H/?p，dp/dt=-?H/?q。解哈密顿方程时经常用到坐标变换。但是如果位置坐标以某种方式被变换了，则对应的动量坐标也必须作相应的变化。沿着这个概念探源，原来这类变换正是欧几里德连杆运动的辛相似物。在动力学中，自然坐标的变换是辛的。这是哈密顿方程不对称的结果，其中dq/dt是正的?H/?p，但dp/dt是负的?H/?q再次出现了负号。

到此，我已谈到辛几何，即辛数学领域的“连杆运动”。对于辛拓扑，我们必须更灵活些。要运用在“小范围内”看起来像辛连杆运动的变换。这些变换在术语上叫做辛摹式，但我宁可称它们为辛映射。平面上辛形式表示面积，所以辛连杆运动是一种保持面积不变的线性变换，为了赋予它以伸缩性，我们放松线性条件。因此，平面上的辛映射定义为任何保持面积不变的变换，但其形状可能大变突变了。在一个想象的图景中，把平面看作为不可压缩的液体，把辛映射看作对液体的某种搅动（这不仅是一个想象的图景，实际上流体力学可用辛几何的语言很有成果地重新论述）。

微分拓扑是研究流形的光滑映射的。相似地，辛拓扑是研究辛流形的辛映射的。阿诺德用以下的话道出他的纲领：“辛拓扑问题可以看作为具有附加结构的普通拓扑问题。但是使我大感兴趣的不是普通拓扑在研究辛几何对象上的用处，而是借助于‘辛化’来推测辛几何的结果。辛化不仅变换了起初研究的对象（流形，映射等），也使整个理论变化了。例如在辛拓扑中边界和同调理论的概念均不同于普通拓扑的这类概念。‘辛边界’的维数比原先流形的维数不是低一维，而是低两维。”

关于辛拓扑最早的定理、在这门学科存在之前早已被发明了，是庞加莱的“最终的几何定理”，它产生于天体力学的一个问题。这个定理说二个环形区域（两个圆周之间的区域），当两个边界圆周作相反方向转动时，在这个保积的辛变换下，至少有两个不动点。这个由伯科夫（George Birkhoff）于1913年证明出来的不动点定理是很有力的。由它可推出在引力作用下三体运动周期轨道的存在。如果此变换不是辛的，则无需有任何不动点；所以辛拓扑具有它独有的特点。

许多这类特点至今还很模糊不清、因为数学家们不过刚刚开始学步如何用辛概念思考。为了说明这一点，考虑阿诺德的问题：“一头辛骆驼能穿过针眼吗？”在高维情形，如同在平面上一样，辛映射保持体积不变。但是辛性是否有比这更多的条件限制？显然，一头保持体积不变的骆驼，只要变得像线一样很细很长，就能穿过任意小的孔隙。可是相反，格罗莫夫（Michael Gromov）证明了（尚未发表）：辛骆驼不能穿过针眼，因其驼峰被卡住了。这里骆驼可适当地代表数学上的球，它的驼峰代表不等式。这里无一是显然或直观的。

阿诺德讨论了辛拓扑中各种各样的已解决和未解决的问题，一大部分是关于庞加莱定理的推广和概括，其他是关于普通拓扑概念，例如扭结和同调群的辛相似物。—个应用是对于光学的。当光线通过光学系统时可能形成聚焦线——由光线会聚形成的光亮曲线和曲面。一个关于聚焦线可能形态的名单被提出来了，是以奇异点理论为基础的；这个名单也适用于星系形成上。按照这个名单，最普通的形态变化是“飞碟”，其中稠密物质形成凹透镜，它是对应于服装皱褶的三维相似物。这个名单在一段时间内未受改动，直到约翰 · 奈（John Nye）和汉纳（John Hannay）注意到飞碟不可能是光学聚焦线形态的表现，虽然它可能出现在星系形成中、其根本原因我们现在知道了：星系的演化是从属于普通拓扑范围的，但聚焦线的变化是从属于辛拓扑的。这就加上了诸多额外限制，因而排除了聚焦线形态名单上的一些不可能情形。当运用一般数学哲学时，沿着前后一贯正确的思路是至关重要的。

任何一个读过阿诺德的论文的人将会由于辛化过程所展现出来的十分广泛的概念和问题而引起兴趣。数学家们当他们首次认识到复数可不仅仅是一个雕虫小技之时谅必也有此同感。事实上、每一个数学概念，从曲线的几何到偏微分方程的分析已经成熟，将要复杂化了。数学曾在一夜之间开花结果 · 数学的一大部分现时正期待着人们将它本质最深处的奇妙的辛性质揭示出来。我们现在所看到的不过是辛冰山的顶部而已。

[Nature，1987年8月]